Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

242 13 Konvergenz von Maßen
Satz 13.16 (Portemanteau Theorem). Sei E ein metrischer Raum, und seien
μ, μ1, μ2,...∈M≤1(E). Dann sind äquivalent:
(i) μ =w-lim
n→∞ μn.
(ii) � fdμn
(iii) � fdμn
n→∞
−→ � fdμ für alle beschränkten, Lipschitz-stetigen f.
n→∞
−→ � fdμfür alle beschränkten, messbaren f mit μ(Uf )=0.
(iv) Es gilt lim inf
n→∞ μn(E) ≥ μ(E) und lim sup μn(F ) ≤ μ(F ) für alle abge-
n→∞
schlossenen F ⊂ E.
(v) Es gilt lim sup
G ⊂ E.
n→∞
μn(E) ≤ μ(E) und lim inf
n→∞ μn(G) ≥ μ(G) für alle offenen
(vi) lim
n→∞ μn(A) =μ(A) für alle messbaren A mit μ(∂A) =0.
Ist E auch lokalkompakt und polnisch, so sind zudem jeweils äquivalent
(vii) μ =v-lim
n→∞ μn und μ(E) = lim
n→∞ μn(E).
(viii) μ =v-lim
n→∞ μn und μ(E) ≥ lim
n→∞ μn(E).
Beweis. ” (iv) ⇐⇒ (v) =⇒ (vi)“ Dies ist trivial.
” (iii) =⇒ (i) =⇒ (ii)“ Dies ist trivial.
” (ii) =⇒ (iv)“ Die Konvergenz der Gesamtmassen folgt mit der Testfunktion
1 ∈ Lip(E;[0, 1]). SeiFabgeschlossen und ρF,ε wie in Lemma 13.10. Dann ist
�
�
lim sup μn(F ) ≤ inf
n→∞
ε>0 lim
n→∞
weil ρF,ε(x) ε→0
−→ F (x) für jedes x ∈ E.
ρF,ε dμn =inf
ε>0
” (vii) =⇒ (viii)“ Dies ist klar nach Lemma 13.15.
ρF,ε dμ = μ(F ),
” (i) =⇒ (vii)“ Wegen Cc(E) ⊂ Cb(E) und 1 ∈ Cb(E) ist dies klar.
” (vii) =⇒ (v)“ Sei G offen und ε>0. Daμ von innen regulär ist (Satz 13.6),
gibt es ein Kompaktum K ⊂ G mit μ(G) − μ(K) 0 und ρK,δ wie
in Lemma 13.10. Dann ist K ≤ ρK,δ ≤ L, also ρK,δ ∈ Cc(E) und daher
�
�
ρK,δ dμn = ρK,δ dμ ≥ μ(K) ≥ μ(G) − ε.
lim inf
n→∞ μn(G) ≥ lim inf
n→∞
Indem wir ε → 0 gehen lassen, folgt die Aussage von (v).