Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

N� �
�μn({k}) − μ({k}) � �
ε
<
4
k=0
3.2 Poisson-Approximation 79
für jedes n ≥ n0.
Speziell ist für n ≥ n0 auch μn({N +1,N +2,...}) < ε
2 .Alsoistfür n ≥ n0
�
�μn(A) − μ(A) � � ≤ μn({N +1,N +2,...})+μ({N +1,N +2,...})
n). Für jedes n ∈ N sei (Xn,k)k∈N eine unabhängige
Familie von Zufallsvariablen mit Xn,k ∼ Berpn,k . Setze
S n :=
∞�
l=1
Xn,l und S n k :=
k�
Xn,l für k ∈ N.
Satz 3.7 (Poisson-Approximation). Unter den obigen Annahmen konvergieren
die Verteilungen (PS n)n∈N schwach gegen die Poisson-Verteilung Poiλ.
Beweis. Die Poisson-Verteilung hat die Erzeugendenfunktion ψ(z) =eλ(z−1) (siehe
(3.4)). Andererseits sind Sn − Sn k und Sn k unabhängig für jedes k ∈ N, also
.Nunistfür jedes z ∈ [0, 1]
ψS n = ψS n k · ψS n −S n k
1 ≥
ψS n(z)
l=1
ψS n k (z) = ψS n −S n k (z) ≥ 1 − P[Sn − S n k ≥ 1] ≥ 1 −
∞�
l=k+1
pn,l
k→∞
−→ 1,