Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

24.3 Die Poisson-Dirichlet-Verteilung ∗
ist genau die Dynamik der unabhängigen Irrfahrten. Da nun auch X1 ein PPP ist,
erhalten wir iterativ X κ n
ist X0
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D
= Xn+1 und damit Xn ∼ PPPμκn = PPPμ∗ν∗n. Speziell
D
= Xn genau dann, wenn μ ∗ ν = μ gilt. Offenbar ist dies richtig, wenn
E = Z d und μ das Zählmaß oder E = R d und μ das Lebesgue-Maß. Ist beispielsweise
E = Z d , so kann man unter relativ schwachen Annahmen an ν zeigen, dass
das Zählmaß μ = λ die einzige Lösung von μ ∗ ν = μ ist. In dem Fall ist jedes invariante
Maß eine Konvexkombination von PPPs mit verschiedenen Intensitätsmaßen
θλ. ✸
Übung 24.2.1. Man zeige die Aussage von Korollar 24.15 ohne charakteristische
Funktionen direkt über die Approximation mit Elementarfunktionen. ♣
Übung 24.2.2. Man zeige den Färbungssatz (Satz 24.22). ♣
24.3 Die Poisson-Dirichlet-Verteilung ∗
Ziel dieses Abschnitts ist die Lösung des folgenden Problems: Wir brechen einen
Stock der Länge 1 an einer zufälligen (uniform verteilten) Stelle in zwei Stücke
und legen das linke Stück (mit der Länge W1) beiseite. Mit dem restlichen Stock
verfahren wir in gleicher Weise und legen das linke Stück der Länge W2 beiseite.
Sukzessive sammeln wir die Bruchstücke mit Längen W1,W2,W3,... Wie sieht
die gemeinsame Verteilung von (W1,W2,...) aus? Ferner wollen wir die Zahlen
W1,W2,... der Größe nach umsortieren und W (1) ≥ W (2) ≥ ... nennen. Wie
sieht die Verteilung von (W (1),W (2),...) aus? Und schließlich: was hat dies mit
Poisson’schen Punktprozessen zu tun?
Zur Beantwortung der Fragen müssen wir etwas weiter ausholen. Wir hatten gesehen,
wie die Beta-Verteilung in natürlicher Weise bei dem Pólya’schen Urnenmodell
als Grenzverteilung der Frequenzen der beiden Kugelfarben auftritt. Offenbar kann
man das Pólya’sche Modell auch mit n ≥ 2 Farben betrachten. Die Grenzverteilung
ist dann die n-dimensionale Verallgemeinerung der Beta-Verteilung, nämlich die so
genannte Dirichlet-Verteilung.
Definition 24.25. Sei n ∈{2, 3,...} und θ1,...,θn > 0.DieDirichlet-Verteilung Dirθ1,...,θn ist die Verteilung auf dem (n − 1)-dimensionalen Simplex
Δn := {(x1,...,xn) ∈ [0, 1] : x1 + ...+ xn =1},
die für messbares A ⊂ Δn definiert ist durch
�
Dirθ1,...,θn (A) = A(x1,...,xn) fθ1,...,θn (x1,...,xn) dx1 ···dxn−1,
wobei
fθ1,...,θn (x1,...,xn) = Γ (θ1 + ...+ θn)
Γ (θ1) ···Γ (θn) xθ1−1 1
···x θn−1
n .