Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

21.3 Starke Markoveigenschaft 443
Beweis. Ohne Einschränkung sei T = 1 und ζ = ζ1. Sei� B eine weitere, unabhängige
Brown’sche Bewegung. Nach dem Reflexionsprinzip gilt
P[ζ ≤ t] =P � Bs �= 0für jedes s ∈ [t, 1] �
=
=
=
� ∞
−∞
� ∞
−∞
� ∞
P0
−∞
P � Bs �= 0für jedes s ∈ [t, 1] � �Bt = a � P[Bt ∈ da]
�
P �Bs
|a| > 0 für jedes s ∈ [0, 1 − t] � P[Bt ∈ da]
� | � B1−t| ≤|a| � P[Bt ∈ da] = P � | � B1−t| ≤|Bt| � .
Sind X, Y unabhängig und N0,1-verteilt, so ist � Bt, � � D= �√ √ �
B1−t tX, 1 − tY .
Es folgt
P[ζ ≤ t] =P �√ 1 − t |Y |≤ √ t |X| �
= P � Y 2 ≤ t(X 2 + Y 2 ) �
= 1
2π
� ∞
−∞
dx
Durch Polarkoordinatentransformation erhalten wir
P[ζ ≤ t] = 1
2π
� ∞
rdre
0
−r2 � 2π
/2
0
� ∞
dy e
−∞
−(x2 +y 2 )/2
{y2≤t(x2 +y2 )}.
dϕ {sin(ϕ) 2≤t} = 2
π arcsin
�√ �
t . ✷
Übung 21.3.1. (Schwierig!) Sei Px die Verteilung der Brown’schen Bewegung mit
Start in x ∈ R. Seia>0 und τ =inf � t ≥ 0:Bt ∈{0,a} � . Man zeige mit Hilfe
des Spiegelungsprinzips, dass für jedes x ∈ (0,a) gilt
P x [τ