Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

266 14 W-Maße auf Produkträumen
�
P[X ≤ x] = fX(t) λ
(−∞,x]
n �
(dt) und P[Y ≤ x] = fY (t) λ
(−∞,x]
n (dt).
Hierbei ist (−∞,x]={y ∈ R n : yi ≤ xi für i =1,...,n} (vergleiche (1.5)).
Definition 14.17. Sei n ∈ N. Für zwei Lebesgue-integrierbare Abbildungen f,g :
Rn → [0, ∞] definieren wir die Faltung f ∗ g : Rn → [0, ∞] durch
�
(f ∗ g)(x) = f(y) g(x − y) λ n (dy).
R n
Für zwei endliche Maße μ, ν ∈ Mf (R n ) definieren wir die Faltung μ ∗ ν ∈
Mf (R n ) durch
� �
(μ ∗ ν)((−∞,x]) =
wobei Ax := {(u, v) ∈ R n × R n : u + v ≤ x} ist.
Ax (u, v) μ(du) ν(dv),
Lemma 14.18. Die Abbildung f ∗ g ist messbar, und es gelten f ∗ g = g ∗ f und
�
(f ∗ g) dλ n ��
= fdλ n
���
gdλ n
�
.
R n
Ebenso gelten μ ∗ ν = ν ∗ μ und (μ ∗ ν)(R n )=μ(R n ) ν(R n ).
R n
Beweis. Die Aussagen folgen direkt aus dem Satz von Fubini. ✷
Satz 14.19 (Faltung von n-dimensionalen Maßen).
(i) Sind X und Y unabhängige R n -wertige Zufallsvariablen mit Dichten fX und
fY ,sohatX + Y die Dichte fX ∗ fY .
(ii) Sind μ = fλ n und ν = gλ n endliche Maße mit Dichten f und g bezüglich
des Lebesgue-Maßes, so gilt μ ∗ ν =(f ∗ g)λ n .
Beweis. (i) Sei x ∈ R n und A := {(u, v) ∈ R n × R n : u + v ≤ x}. Dann gilt
nach mehrfacher Anwendung des Satzes von Fubini (sowie der Translationsinvarianz
von λ n )
R n