Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

und induktiv
21.9 Pfadweise Konvergenz von Verzweigungsprozessen ∗
� �
0 1
Mψ = ,
−1 2
M 2 � �
−12
ψ = ,
−2 3
M 3 � �
−23
ψ =
−3 4
M n ψ =
461
� �
−(n − 1) n
. ✷
−n n+1
Setzen wir s = e −λ , so erhalten wir die Laplace-Transformierten von Zn
Ei[e −λZn ]=ψ (n) (e −λ ) i .
Nach Beispiel 6.29 ergeben sich die Momente von Zn durch Differenzieren. Es gilt
also:
Lemma 21.45. Die Momente von Zn sind
Ei[Z k k dk
n]=(−1)
dλk �
ψ (n) (e −λ ) i�� . (21.39)
�λ=0
Speziell sind die ersten sechs Momente
Ei[Zn] =i
Ei[Z 2 n]=2in+ i 2
Ei[Z 3 n]=6in 2 +6i 2 n + i 3
Ei[Z 4 n]=24in 3 +36i 2 n 2 +(12i 3 +2i) n + i 4
(21.40)
Ei[Z 5 n] = 120in 4 + 240i 2 n 3 + (120i 3 +30i) n 2 +(20i 4 +10i 2 ) n + i 5
Ei[Z 6 n] = 720in 5 + 1800i 2 n 4 + (1200i 3 + 360i) n 3
+ (300i 4 + 240i 2 )n 2 +(30i 5 +30i 3 +2i)n + i 6 .
Insbesondere ist Z ein Martingal, und die ersten sechs zentrierten Momente sind
Ei[(Zn − i) 2 ]=2in
Ei[(Zn − i) 3 ]=6in 2
Ei[(Zn − i) 4 ]=24in 3 +12i 2 n 2 +2in
Ei[(Zn − i) 5 ] = 120in 4 + 120i 2 n 3 +30in 2
(21.41)
Ei[(Zn − i) 6 ] = 720in 5 + 1080i 2 n 4 + (120i 3 + 360i) n 3 +60i 2 n 2 +2in.
Beweis. Die genauen Formeln für die ersten sechs Momente erhält man durch stures
Ausrechnen von (21.39). ✷
Wir betrachten jetzt die folgende Reskalierung: Wir fixieren x ≥ 0 und starten mit
Z0 = ⌊nx⌋ Individuen und betrachten ˜ Zn t := Z⌊tn⌋ n für t ≥ 0. Wir schreiben kurz