Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

x =0
0
u(0)=0
R
R
R
R
R
R
1
2
3
4
5
6
19.3 Elektrische Netzwerke 397
x =1
1
u(6)=1
Abb. 19.2. Parallelschaltung von sechs Widerständen. Der effektive Gesamtwiderstand be-
trägt Reff(0 ↔ 1) = (R −1
1
+ ...+ R−1
6 )−1 .
Satz 19.20 (Energieerhaltungssatz). Sei A = A0 ∪ A1, und sei I ein Fluss (das
heißt eine antisymmetrische Funktion, die dem Kirchhoff’schen Gesetz genügt, nicht
aber notwendigerweise dem Ohm’schen Gesetz) auf E \ A. Ferner sei w : E → R
eine Funktion, die auf A0 und A1 jeweils konstant ist: w � � ≡: w0 und w
A0
� � ≡:
A1
w1. Dann gilt
(w1 − w0)I(A1) = 1 �
(w(x) − w(y)) I(x, y).
2
x,y∈E
Dies ist die diskrete Version des Satzes von Gauß für (wI), wobei man beachte,
dass das Kirchhoff’sche Gesetz besagt, dass I auf E \ A divergenzfrei ist.
Beweis. Wir berechnen
�
(w(x) − w(y))I(x, y) = � �
w(x) �
x,y∈E
x∈E
y∈E
= � �
w(x) �
x∈A
y∈E
Definition 19.21. Sei I ein Fluss auf E \ A.Mit
�
I(x, y)
�
I(x, y)
− �
y∈E
− �
y∈A
�
w(y) �
x∈E
�
w(y) �
x∈E
�
I(x, y)
�
I(x, y)
= w0I(A0)+w1I(A1)−w0(−I(A0))−w1(−I(A1))
=2(w1−w0)I(A1). ✷
LI := L C I := 1
2
�
x,y∈E
I(x, y) 2 R(x, y)
bezeichnen wir die Leistung von I im Netzwerk (E,C).