Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

516 24 Der Poisson’sche Punktprozess
Es gelten nun (i) – (iii). Nach Satz 24.14 hat Y die Laplace-Transformierte
E[e −tY ��
]=exp ν(dx) � e −tx − 1 ��
.
Nach der Lévy-Khinchin Formel (Satz 16.14) ist Y unbegrenzt teilbar mit Lévy-
Maß ν. ✷
Beispiel 24.18. Nach Korollar 16.10 existiert zu jeder nichtnegativen unbegrenzt
teilbaren Verteilung μ mit Lévy-Maß ν ein stochastischer Prozess (Yt)t≥0 mit unabhängigen
stationären Zuwächsen und Yt ∼ μ∗t (also mit Lévy-Maß tν). Diesen
Prozess können wir hier direkt konstruieren: Sei X ein PPP auf (0, ∞) × [0, ∞) mit
Intensitätsmaß ν ⊗ λ (wo λ das Lebesgue-Maß ist). Setze Y0 =0und
�
Yt :=
xX(d(x, s)).
(0,∞)×(0,t]
Nach dem Abbildungssatz ist X( · × (s, t]) ∼ PPP (t−s)ν, also ist Yt − Ys unbegrenzt
teilbar mit Lévy-Maß (t−s)ν. Die Unabhängigkeit der Zuwächse ist evident.
Man beachte, dass t ↦→ Yt rechtsstetig und monoton wachsend ist.
Der so konstruierte Prozess Y heißt Subordinator mit Lévy-Maß ν. ✸
Wir können das Vorgehen des letzten Beispiels verallgemeinern, indem wir als Zeitmenge
allgemeinere Mengen als [0, ∞) zulassen.
Definition 24.19. Ein zufälliges Maß Y heißt unbegrenzt teilbar, wenn für jedes n ∈
N u.i.v. zufällige Maße Y1,...,Yn existieren mit Y = Y1 + ...+ Yn.
Satz 24.20. Sei ν ∈M((0, ∞) × E) mit
�
A(t)(1∧ x) ν(d(x, t)) < ∞ für jedes A ∈Bb(E),
und sei α ∈M(E).SeiXein PPPν und
�
Y (A) :=α(A)+ x A(t) X(d(x, t)) für A ∈B(E).
Dann ist Y ein unbegrenzt teilbares zufälliges Maß mit unabhängigen Zuwächsen.
Für A ∈B(E) hat Y (A) das Lévy-Maß ν( · × A).
Wir nennen ν das kanonische Maß und α den deterministischen Anteil von Y .
Beweis. Das folgt direkt aus Satz 24.16 und Satz 24.17. ✷