Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

15.3 Der Lévy’sche Stetigkeitssatz 295
Lemma 15.19. Sei μ ∈M1(R d ) mit charakteristischer Funktion ϕ. Dann gilt
|ϕ(t) − ϕ(s)| 2 ≤ 2 � 1 − Re(ϕ(t − s)) �
für alle s, t ∈ R d .
Beweis. Nach der Cauchy-Schwarz’schen Ungleichung gilt
|ϕ(t) − ϕ(s)| 2 ��
�
= �
�
Rd e i〈t,x〉 − e i〈s,x〉 �2
�
μ(dx) �
�
��
�
= �
�
Rd �2
� � �
i〈t−s,x〉 i〈s,x〉
e − 1 e μ(dx) �
�
�
≤
Rd �
�
�
� i〈t−s,x〉 2
e − 1� μ(dx) ·
Rd �
� i〈s,x〉
e � �2 μ(dx)
�
� �� � i〈t−s,x〉 −i〈t−s,x〉
= e − 1 e − 1 μ(dx)
R d
=2 � 1 − Re(ϕ(t − s)) � . ✷
Definition 15.20. Sei (E,d) ein metrischer Raum. Eine Familie (fi, i ∈ I) von
Abbildungen E → R heißt gleichgradig gleichmäßig stetig, falls für jedes ε>0
ein δ>0 existiert, sodass |fi(t) − fi(s)| 0 existiert, sodass für jedes
t ∈ Rd , jedes s ∈ Rd mit |t − s| 0, sodass für x ∈ [−N,N] d und u ∈ Rd mit |u|