Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

462 21 Die Brown’sche Bewegung
Lx[ ˜ Z n ]:=L ⌊nx⌋[(n −1 Z ⌊nt⌋)t≥0]. (21.42)
Offenbar ist Ex[ ˜ Zn t ]= ⌊nx⌋
n ≤ x für jedes n, also ist (Lx[ ˜ Zn t ], n∈ N) straff. Indem
wir Laplace-Transformierte betrachten, sehen wir sogar, dass für jedes λ ≥ 0 die
Folge der Verteilungen konvergiert:
lim
n→∞ Ex[e −λ ˜ Z n
t ] = lim
n→∞
�
ψ (⌊tn⌋) (e −λ/n �nx )
� −λ/n
nt − (nt − 1)e
= lim
n→∞ nt +1− nt e−λ/n �
= lim 1 −
n→∞
�nx
1 − e −λ/n
n(1 − e −λ/n )t +1
�nx
�
xn(1 − e
=exp − lim
n→∞
−λ/n )
n(1 − e−λ/n �
)t +1
�
=exp − λ
λ +1/t (x/t)
�
:= ψt(λ) x .
(21.43)
Die Funktion ψ x t ist aber die Laplace-Transformierte der zusammengesetzten Poisson-Verteilung
CPoi (x/t) exp1/t (siehe Definition 16.3).
Wir betrachten jetzt den stochastischen Kern κt(x, dy) := CPoi (x/t) exp1/t (dy).
Dies ist genau derjenige Kern auf [0, ∞), dessen Laplace-Transformierte gegeben
ist durch � ∞
0
κt(x, dy) e −λy = ψt(λ) x . (21.44)
Lemma 21.46. (κt)t≥0 ist eine Markov’sche Halbgruppe, und es existiert ein Markovprozess
(Yt)t≥0 mit Übergangskernen Px[Yt ∈ dy] =κt(x, dy).
Beweis. Es reicht, die Chapman-Kolmogorov Gleichung κt · κs = κs+t zu zeigen.
Wir berechnen die Laplace-Transformierten dieser Kerne: Für λ ≥ 0 erhalten wir
durch zweimaliges Anwenden von (21.44)
� �
κt(x, dy)κs(y, dz) e −λz �
=
�
κt(x, dy)exp − λy
λs +1
�
λ
�
λs+1
=exp − λ
λs+1t +1x
�
�
λx
=exp −
λ(t + s)+1
�
= κt+s(x, dz) e −λz . ✷
Als nächstes zeigen wir, dass Y eine stetige Version besitzt. Dafür berechnen wir
Momente und ziehen den Satz von Kolmogorov-Chentsov (Satz 21.6) heran.
�