Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

Dabei ist die Varianz des einzelnen Irrfahrt-Schrittes:
18.4 Konvergenzgeschwindigkeit 387
σ 2 := 4r(1 − r). (18.18)
Da alle Eigenwerte reell sind, sind die zugehörigen Eigenvektoren gegeben durch
x n � �n/2 r
�
nπ
�
k =2
sin , k =1,...,N − 1.
1 − r N
Für n =1und n = N − 1 ist |λn| = σ cos � �
π
N der betragsmäßig zweitgrößte
Eigenwert. Es folgt, dass es ein C>0 gibt, sodass für jedes μ ∈M1(E) gilt
μp n � �
π
��n ({1,...,N − 1}) ≤ C σ cos
für jedes n ∈ N.
N
Mit anderen Worten: Die Wahrscheinlichkeit, dass das Spiel bis zur n-ten Runde
noch nicht entschieden ist, ist maximal C � σ cos(π/N) �n .
Ein alternativer Zugang zu den Eigenwerten geht über die Nullstellen des charakteristischen
Polynoms
χN(x) =det(p − xI), x ∈ R.
Man sieht sofort, dass χ1(x) = (1 − x) 2 und χ2(x) = −x(1 − x) 2 gilt. Über
die Entwicklungsformel der Determinante durch Streichen von Zeilen und Spalten
erhalten wir die Rekursionsformel
χN(x) =−xχN−1(x) − r(1 − r) χN−2(x). (18.19)
Wir erhalten als Lösung (Nachrechnen!)
wobei
χN(x) =(−1) N−1 (σ/2) N−1 (1 − x) 2 UN−1
Um(x) :=
k=1
�
(−1) k
� �
m − k
(2x)
k
m−2k
⌊m/2⌋
k=0
� x/σ � , (18.20)
das m-te Chebyshev Polynom zweiter Art bezeichnet.
Für x ∈ (−σ, σ) kann man mit Hilfe der de Moivre’schen Formel zeigen, dass
χN(x) =(−1) N−1 (σ/2) N−1 (1 − x) 2 sin � N arccos � x/σ ��
�
1 − (x/σ) 2
=(1−x) 2
N−1 � � �
πk
� �
(18.21)
σ cos − x .
N
Neben der doppelten Nullstelle 1 erhalten wir als Nullstellen
σ cos � πk/N), k =1,...,N − 1. ✸