Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

7.5 Ergänzung: Signierte Maße 159
Lemma 7.46. Seien μ, ν endliche Maße auf (Ω,A), die nicht singulär zueinander
sind, kurz: μ �⊥ ν. Dann gibt es ein A ∈Amit μ(A) > 0 und ein ε>0 mit
εμ(E) ≤ ν(E) für jedes E ∈A mit E ⊂ A.
Beweis. Für n ∈ N sei Ω = Ω + n ⊎Ω− n eine Hahn-Zerlegung zu (ν− 1
nμ) ∈LV. Setze
M := �
n∈N Ω− n .Offenbarist(ν−1 1
nμ)(M) ≤ 0, also ν(M) ≤ nμ(M) für jedes
n ∈ N und deshalb ν(M) =0.Wegenμ�⊥ ν folgt μ � Ω \M) =μ( �
n∈N Ω+ �
n > 0,
also μ(Ω + n0 ) > 0 für ein n0 ∈ N. Setze A := Ω + 1
n0 und ε := . Damit ist dann
n0
μ(A) > 0 und (ν − εμ)(E) ≥ 0 für jedes E ⊂ A, E ∈A. ✷
Alternativer Beweis von Satz 7.33 Wir zeigen hier nur die Existenz der Zerlegung.
Indem wir eine geeignete Folge Ωn ↑ Ω betrachten, können wir annehmen, dass ν
schon endlich ist. Betrachte die Menge der Funktionen
�
�
�
G := g : Ω → [0, ∞] : g ist messbar und gdμ≤ ν(A) für alle A ∈A
A
und setze
�
γ := sup
�
�
gdμ: g ∈G .
Unser Ziel ist es, ein maximales Element f in G zu konstruieren (also eines mit
� fdμ= γ), das dann die gesuchte Dichte von νa ist.
Offenbar ist 0 ∈G, also G �= ∅. Weiter gilt
f,g ∈G impliziert f ∨ g ∈G. (7.11)
Mit E := {f ≥ g} ist nämlich für A ∈A
�
�
�
f ∨ gdμ = fdμ+ gdμ ≤ ν(A ∩ E)+ν(A \ E) = ν(A).
A
A∩E
A\E
Wähle eine Folge (gn)n∈N in G mit � gn dμ n→∞
−→ γ und setze fn = g1 ∨ ...∨ gn.
Wegen (7.11) ist fn ∈G. Der Satz von der monotonen Konvergenz liefert für f :=
sup{fn : n ∈ N}
�
�
fdμ = sup
A
n∈N
(das heißt f ∈G) und weiter
�
fdμ = sup
n∈N
fn dμ ≤ ν(A) für jedes A ∈A,
A
�
�
fn dμ ≥ sup
n∈N
gn dμ = γ,
also � fdμ= γ ≤ ν(Ω).Wirdefinieren nun für jedes A ∈A