Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

46 1 Grundlagen der Maßtheorie
Beispiel 1.107. (i) Für θ, r > 0 heißt die Verteilung Γθ,r auf [0, ∞) mit Dichte
x ↦→ θr
Γ (r) xr−1 e −θx
(wo Γ die Gamma-Funktion bezeichnet) Gamma-Verteilung mit Größenparameter
θ und Formparameter r.
(ii) Für r, s > 0 heißt die Verteilung βr,s auf [0, 1] mit Dichte
x ↦→
Γ (r + s)
Γ (r)Γ (s) xr−1 (1 − x) s−1
Beta-Verteilung mit Parametern r und s.
(iii) Für a>0 heißt die Verteilung Caua auf R mit Dichte
x ↦→ 1 1
aπ 1+(x/a) 2
Cauchy-Verteilung mit Parameter a. ✸
Übung 1.5.1. Man leite (1.17) nach der Interpretation als Wartezeit kombinatorisch
her unter Benutzung der Identität � � � � −n k n+k−1
k (−1) = k . ♣
Übung 1.5.2. Man gebe ein Beispiel an für zwei normalverteilte X und Y , sodass
(X, Y ) nicht (zweidimensional) normalverteilt ist. ♣
Übung 1.5.3. Man zeige mit Hilfe von Satz 1.101 (Transformationsformel für Dichten):
(i) Ist X ∼N μ,σ 2 und sind a ∈ R\{0} und b ∈ R,soist(aX +b) ∼N aμ+b,a 2 σ 2.
(ii) Ist X ∼ exp θ und a>0,soistaX ∼ exp θ/a. ♣