Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

9.4 Diskreter Martingaldarstellungssatz und CRR Modell 197
Das Maß PX ′ wird auch äquivalentes Martingalmaß genannt. Während es hier
für uns nur von rechnerischem Interesse ist, hat es eine ökonomische Interpretation
als Maß für die Preisbildung, falls alle Händler sich risikoneutral verhalten, also den
Wert einer künftigen Auszahlung allein nach deren Erwartungswert bemessen (was
typischerweise nicht der Fall ist; die meisten Anleger sind risikoavers, lassen sich
also Unsicherheiten durch einen Aufschlag bezahlen).
Nun wollen wir aber ein Modell im Detail betrachten.
Definition 9.44. Seien T ∈ N, a ∈ (−1, 0) und b>0 sowie p ∈ (0, 1). Ferner
seien D1,...,DT u.i.v. mit P[D1 =1]=1− P[D1 = −1] = p. Wirdefinieren
X0 = x0 > 0 und für n =1,...,T
�
(1 + b) Xn−1, falls Dn =+1,
Xn =
(1 + a) Xn−1, falls Dn = −1.
X heißt mehrstufiges Binomialmodell oder Cox-Ross-Rubinstein’sches Modell
(ohne Verzinsung).
Nach dem bisher Gezeigten ist das CRR Modell vollständig. Ferner können wir
den Prozess X zu einem Martingal machen. Mithin ist
durch die Wahl p∗ = a
a−b
das Modell auch arbitragefrei (für jedes p ∈ (0, 1)). Wir wollen nun den Preis des
europäischen Calls VT := (XT − K) + explizit ausrechnen. Hierzu können wir
wieder p = p∗ annehmen. Wir erhalten dann mit A := min{i ∈ N0 :(1+b) i (1 +
a) T −ix0 >K},
π(VT )=Ep ∗[VT ]=
= x0
T�
i=A
T�
bT,p∗({i}) � (1 + b) i (1 + a) T −i x0 − K �+
i=0
� �
T
(p
i
∗ ) i (1 − p ∗ ) T −i � (1 + b) i (1 + a) T −i� − K
T�
i=A
bT,p ∗({i}).
Setzen wir p ′ =(1+b)p ∗ ,dannistp ′ ∈ (0, 1) und 1 − p ′ =(1− p ∗ )(1 + a). Wir
erhalten so die Cox-Ross-Rubinstein’sche Formel
π(VT )=x0 bT,p ′({A,...,T}) − KbT,p∗({A,...,T}). (9.5)
Dies ist das diskrete Analogon zur berühmten Black–Scholes Formel für die Optionsbewertung
in gewissen zeitkontinuierlichen Märkten.