Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

lim sup
n→∞
1
n
log Pn(C)
≤ lim sup
n→∞
=max
23.2 Prinzip der großen Abweichungen 497
1
n log � � � � ��
− +
Pn (−∞,x ] + Pn [x , ∞)
�
lim sup
n→∞
1 � � −
log Pn (−∞,x ] , lim sup
n n→∞
=max � − I(x − ), −I(x + ) � = − inf I(C).
1
n
� � +
log Pn [x , ∞) �
Damit ist (LDP 2) gezeigt.
Sei nun U ⊂ R offen. Sei x ∈ U, x>0, (falls es solch ein x gibt). Dann existiert
ein ε>0 mit (x − ε, x + ε) ⊂ U ∩ (0, ∞). Nun ist
lim
n→∞
1 � �
log Pn (x − ε, ∞) = −I(x − ε) > −I(x + ε)
n
= lim
n→∞
1 � �
log Pn [x + ε, ∞) .
n
Es folgt
lim inf
n→∞
1
n log Pn(U) ≥ lim
n→∞
1
n log Pn((x
= lim
n→∞
− ε, x + ε))
1
n log � = lim
n→∞
� � � ��
Pn (x − ε, ∞) − Pn [x + ε, ∞)
1
n log � � ��
Pn (x − ε, ∞) = −I(x − ε) ≥ −I(x).
Analog folgt dies auch für x ∈ U ∩ (−∞, 0), also ist
lim inf
n→∞
1
n log Pn(U) ≥ inf I(U \{0}) = inf I(U),
wobei wir im letzten Schritt ausgenutzt haben, dass U offen und I stetig ist. Damit
ist die untere Schranke (LDP 1) gezeigt. ✸
Tatsächlich kann man auf die Bedingung, dass Λ(t) < ∞ für alle t ∈ R gilt, verzichten.
Da offenbar Λ(0) = 0 ist, ist Λ ∗ (x) ≥ 0 für jedes x ∈ R. Die Abbildung Λ ∗
ist eine konvexe Ratenfunktion, jedoch im Allgemeinen keine gute Ratenfunktion.
Wir zitieren die folgende Verstärkung des Satzes von Cramér (siehe [32, Theorem
2.2.3]).
Satz 23.11 (Cramér). Sind X1,X2,...u.i.v. reelle Zufallsvariablen, dann erfüllt
(P Sn/n)n∈N ein LDP mit Ratenfunktion Λ ∗ .
Übung 23.2.1. Sei E = R. Man zeige, dass με := N0,ε ein LDP mit guter Ratenfunktion
I(x) =x 2 /2 erfüllt. Man zeige ferner, dass in der oberen Schranke
(LDP 2) strikte Ungleichheit auftreten kann. ♣