Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

468 21 Die Brown’sche Bewegung
Definition 21.58. Für stetige F, G : [0, ∞) → R und p ≥ 1 definieren wir die
p-Variation von G (entlang P) durch
� � �
P,p
(G) :=V (G) := lim �Gt ′ − Gt
�p für T ≥ 0,
V p
T
T
n→∞
t∈Pn T
falls der Grenzwert existiert. Speziell heißt 〈G〉 := V 2 (G) die quadratische Variation
von G. IstT ↦→ V 2 T (G) stetig, so schreiben wir G ∈CqV := C P qV .
Existiert für jedes T ≥ 0 der Grenzwert
�
V P,2
T (F, G) := lim
n→∞
t∈Pn T
� �� �
Ft ′ − Ft Gt ′ − Gt ,
so nennen wir 〈F, G〉 := V 2 (F, G) :=V P,2 (F, G) die quadratische Kovariation
von F und G (entlang P).
p′
(G) < ∞, soistVT (G) =0. Speziell ist
〈G〉 ≡0, falls G von lokal endlicher Variation ist. ✸
Bemerkung 21.59. Ist p ′ >pund V p
T
Bemerkung 21.60. Aufgrund der Dreiecksungleichung ist
� � � � � �
�Gt ′ − Gt
� ≥ �Gt ′ − Gt
� für alle n ∈ N, T≥ 0.
t∈P n+1
T
t∈P n T
Daher existiert der Limes im Fall p =1stets und stimmt, unabhängig von der Zerlegungsfolge
P, mit V 1 (G) aus Definition 21.52 überein. Ähnliche Ungleichungen
gelten für V 2 nicht, daher braucht der Limes nicht zu existieren oder kann von der
Wahl von P abhängen. Wir werden im Folgenden jedoch für die Pfade einer großen
Klasse von stetigen stochastischen Prozessen zeigen, dass V 2 zumindest für eine
geeignete Zerlegungsfolge fast sicher existiert und (unabhängig von der gewählten
Zerlegungsfolge) fast sicher eindeutig ist. ✸
Bemerkung 21.61. (i) Existieren 〈F + G〉T und 〈F − G〉T , so existiert die Kovarianz
〈F, G〉T , und es gilt die Polarisationsformel
〈F, G〉T = 1�
�
〈F + G〉T −〈F − G〉T .
4
(ii) Existieren 〈F 〉T , 〈G〉T und 〈F, G〉T , so folgt aus der Cauchy-Schwarz’schen
Ungleichung für die approximierenden Summen
� � �
〈F, G〉T ≤ 〈F 〉T 〈G〉T . ✸
V 1 T
Bemerkung 21.62. Ist f ∈ C1 (R) und G ∈CqV, soist(Übung!) im Sinne des
Lebesgue-Stieltjes Integrals
〈f(G)〉T =
� T
0
(f ′ (Gs)) 2 d〈G〉s. ✸