Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

2 1 Grundlagen der Maßtheorie
Definition 1.2 (σ-Algebra). Ein Mengensystem A⊂2 Ω heißt σ-Algebra, falls
die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind.
(i) Ω ∈A,
(ii) A ist komplementstabil,
(iii) A ist σ-∪-stabil.
σ-Algebren sind die natürlichen Mengensysteme für zufällige Ereignisse, denn wie
wir sehen werden, können wir diesen Ereignissen in konsistenter Weise Wahrscheinlichkeiten
zuordnen.
Satz 1.3. Ist A komplementstabil, so gelten die beiden folgenden Äquivalenzen.
A ist ∩ -stabil ⇐⇒ A ist ∪ -stabil,
A ist σ- ∩ -stabil ⇐⇒ A ist σ- ∪ -stabil.
Beweis. Dies folgt direkt aus den de Morgan’schen Regeln (Erinnerung: ( � Ai) c =
� A c i ). Ist beispielsweise A σ-∩-stabil und sind A1,A2,...∈A, so ist auch
∞�
n=1
An =
� ∞�
n=1
A c n
� c
∈A.
Also ist A auch σ-∪-stabil. Die anderen Fälle folgen analog. ✷
Satz 1.4. Ist A\-stabil, so gelten die folgenden Aussagen.
(i) A ist ∩-stabil.
(ii) Falls A σ-∪-stabil ist, dann ist A auch σ-∩-stabil.
(iii) Jede abzählbare (beziehungsweise endliche) Vereinigung von Mengen aus A
lässt sich als abzählbare (beziehungsweise endliche), disjunkte Vereinigung
von Mengen in A schreiben.
Beweis. (i) Seien A, B ∈A. Dann ist auch A ∩ B = A \ (A \ B) ∈A.
(ii) Seien A1,A2,...∈A.Dannist
∞�
n=1
An =
∞�
∞�
∞�
(A1 ∩ An) = A1 \ (A1 \ An) =A1 \ (A1 \ An) ∈A.
n=2
n=2
(iii) Seien A1,A2,... ∈A.Dannist ∞�
An als abzählbare, disjunkte Vereinigung
in A darstellbar durch
n=1
n=2