Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

5.5 Der Poissonprozess 121
Nach den Annahmen (P2) und (P3) sind (X n (k), k=1,...,2 n ) unabhängig und
identisch verteilt. Daher ist auch (X n (k), k=1,...,2 n ) unabhängig und identisch
verteilt, nämlich X n (k) ∼ Berpn , wobei pn = P[N 2 −n t ≥ 1].
Schließlich setzen wir N n t := �2 n
k=1 Xn (k). DannistNn t ∼ b2n ,pn . Offenbar ist
N n+1
t − N n t ≥ 0. Nun gilt nach (P5)
P [Nt �= N n �
t ] ≤ P [X n (k) ≥ 2] = 2 n P [N2−nt ≥ 2] n→∞
−→ 0. (5.15)
2 n
k=1
�
Also ist P Nt = lim
n→∞ N n t
�
=1. Nach dem Satz über monotone Konvergenz gilt
αt= E [Nt] = lim
n→∞ E [N n t ] = lim
n→∞ pn 2 n .
Nach dem Satz über Poisson-Approximation (Satz 3.7) gilt daher für jedes l ∈ N0
P[Nt = l] = lim
n→∞ P [N n t = l] =Poiαt({l}).
Also ist PNt =Poiαt. ✷
Bislang steht noch der Nachweis aus, dass es überhaupt Poissonprozesse gibt. In Kapitel
24 werden wir ein allgemeines Konstruktionsprinzip kennen lernen, das auch
für allgemeinere Räume als [0, ∞) funktioniert (siehe auch Übung 5.5.1).
Eine weitere, instruktive Konstruktion basiert auf den Wartezeiten zwischen den
Klicks, oder formal zwischen den Unstetigkeitsstellen der Abbildung t ↦→ Nt(ω).
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir zur Zeit s auf den nächsten Klick des
Zählers länger als t Zeiteinheiten warten müssen? Wenn wir die Klicks als Poissonprozess
mit Intensität α modellieren, ist diese Wahrscheinlichkeit
P � N (s,s+t] =0 � = e −αt .
Mithin ist die Wartezeit auf den nächsten Klick exponentialverteilt mit Parameter
α. Außerdem sollten die Wartezeiten unabhängig voneinander sein. Wir nehmen
nun die Wartezeiten als Startpunkt der Betrachtung und konstruieren hieraus den
Poissonprozess.
Sei W1,W2,...eine unabhängige Familie von exponentialverteilten Zufallsvariablen
mit Parameter α>0, also P[Wn >x]=e−αx . Wir setzen
n�
Tn := Wk
k=1
und interpretieren Wn als die Wartezeit zwischen dem (n − 1)-ten und dem nten
Klick. Tn ist der Zeitpunkt des n-ten Klicks. In Anlehnung an diese Intuition
definieren wir