Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

290 15 Charakteristische Funktion und Zentraler Grenzwertsatz
Beweis. (i) (Normalverteilung) Nach Lemma 15.11 reicht es, den Fall μ =0
und σ2 =1zu betrachten. Mit Hilfe des Differentiationslemmas (Satz 6.28) und
durch partielle Integration erhalten wir
� ∞
d
ϕ(t) = e
dt −∞
itx ix e −x2 /2
dx = −tϕ(t).
Diese lineare Differentialgleichung mit Anfangswert ϕ(0) = 1 hat die eindeutige
Lösung ϕ(t) =e−t2 /2 .
(ii) (Gleichverteilung) Dies ist unmittelbar.
(iii) (Dreieck) Es gilt Tria = U [−a/2,a/2] ∗U [−a/2,a/2], also ist
ϕTria(t) =ϕU (t) [−a/2,a/2] 2 =4 sin(at/2)2
a2 t2 1 − cos(at)
=2
a2 t2 ,
wobei wir ausgenutzt haben, dass nach dem Additionstheorem gilt
1 − cos(x) =sin(x/2) 2 +cos(x/2) 2 − cos(x) =2sin(x/2) 2 .
(iv) (N.N.) Dies lässt sich entweder direkt ausrechnen, oder mit Hilfe der Fourier-
Inversionsformel (Gleichung (15.2)) aus (iii) folgern.
(v) (Gammaverteilung) Es reicht wiederum, den Fall θ =1zu betrachten. Für
0 ≤ b