Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

308 15 Charakteristische Funktion und Zentraler Grenzwertsatz
�
�
�
�
� log ϕn(t)
kn�
− E[e
l=1
itXn,l
�
�
�
− 1] �
� =
�
� kn�
�
� log(ϕn,l(t)) − E[e
�
l=1
itXn,l
�
�
�
− 1] �
�
≤
kn� �
ϕn,l(t) − 1 �2 l=1
≤ mn
kn�
|ϕn,l(t) − 1|
l=1
≤ 1
2 mn t 2
(nach Lemma 15.45)
−→ 0 für n →∞. ✷
Der eigentliche Trick besteht in der Einführung der Funktion
⎧
1+x
⎪⎨
ft(x) :=
⎪⎩
2
x2 �
e itx − 1 − itx
1+x2 �
, falls x �= 0,
− t2
, falls x =0,
2
sowie der Maße μn,νn ∈Mf (R), n∈ N,
l=1
l=1
(15.8)
kn�
νn(dx) := x 2 PXn,l (dx) und μn(dx)
kn� x
:=
2
PXn,l (dx).
1+x2 Lemma 15.47. Für jedes t ∈ R gilt ft ∈ Cb(R).
Beweis. Für jedes |x| ≥1 ist 1+x2
x2 ≤ 2, also gilt
�
|ft(x)| ≤2 |e itx | +1+ tx
1+x2 �
≤ 4+2|t|.
Wir müssen zeigen, dass ft stetig in 0 ist. Die Taylorformel (Lemma 15.30) liefert
e itx =1+itx − t2 x 2
mit |R(tx)| ≤ 1
6 |tx|3 .Alsoistfür festes t
lim
0�=x→0 ft(x) = lim
0�=x→0
1
x 2
�
itx
2
�
1 − 1
1+x 2
Lemma 15.48. Gilt (i) in Satz 15.43, so gilt νn
+ R(tx)
�
− t2x2 �
+ R(tx)
2
n→∞
−→ δ0 schwach.
= − t2
. ✷
2