Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

306 15 Charakteristische Funktion und Zentraler Grenzwertsatz
Beweis. Für x ∈ R ist x 2 {|x|>ε ′ } ≤ (ε ′ ) −δ |x| 2+δ {|x|>ε ′ } ≤ (ε ′ ) −δ |x| 2+δ . Mit
ε ′ := ε � Var[Sn] folgt Ln(ε) ≤ ε −δ
1
Var[Sn] 1+(δ/2)
l=1
kn�
E � |Xn,l| 2+δ� . ✷
Beispiel 15.42. Seien (Yn)n∈N u.i.v. mit E[Yn] =0und Var[Yn] =1.Seikn = n
und Xn,l = Yl √n .Dannist(Xn,l) unabhängig, zentriert und normiert. Es gilt
P[|Xn,l| > ε] = P[|Y1| > ε √ n ] n→∞
−→ 0, also ist (Xn,l) asymptotisch vernachlässigbar.
Es gilt Ln(ε) = E � Y 2
1 {|Y1|>ε √ � n→∞
n} −→ 0, alsoerfüllt (Xn,l)
die Lindeberg-Bedingung.
Gilt Y1 ∈L2+δ (P) für ein δ>0, soist
n�
l=1
E � |Xn,l| 2+δ� = n −(δ/2) E � |Y1| 2+δ� n→∞
−→ 0.
In diesem Fall erfüllt (Xn,l) auch die Lyapunov Bedingung. ✸
Der folgende Satz geht auf Lindeberg (1922) für die Richtung (i) =⇒ (ii) und Feller
(1935 und 1937) für die Richtung (ii) =⇒ (i) zurück. In den Anwendungen interessiert
meist nur die Richtung von Lindeberg (i) =⇒ (ii), daher beweisen wir nur
diesen Teil. Für die Richtung (ii) =⇒ (i) siehe etwa [145, Theorem III.4.3].
Satz 15.43 (Zentraler Grenzwertsatz von Lindeberg-Feller). Sei (Xn,l) ein unabhängiges,
zentriertes und normiertes Schema reeller Zufallsvariablen, sowie
Sn = Xn,1 + ...+ Xn,kn für jedes n ∈ N. Dann sind äquivalent
(i) Es gilt die Lindeberg-Bedingung.
(ii) (Xn,l) ist asymptotisch vernachlässigbar, und es gilt PSn
n→∞
−→ N0,1.
Wir bereiten den Beweis des Satzes von Lindeberg mit ein paar Lemmata vor.
Lemma 15.44. Gilt (i) in Satz 15.43, so ist (Xn,l) asymptotisch vernachlässigbar.
Beweis. Für ε>0 ist nach der Chebyshev’schen Ungleichung
kn�
P � |Xn,l| >ε � ≤ ε −2
kn�
E � X 2 n,l
�
{|Xn,l|>ε} = Ln(ε) n→∞
−→ 0. ✷
l=1
l=1
Seien im Folgenden stets ϕn,l und ϕn die charakteristischen Funktionen von Xn,l
und Sn.
Lemma 15.45. Für jedes n ∈ N und t ∈ R gilt
kn� �
�1 − ϕn,l(t) � �
t
≤ 2
2 .
l=1