Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

6.3 Vertauschung von Integral und Ableitung 137
Satz 6.28 (Differentiationslemma). Sei I ⊂ R ein nichttriviales, offenes Intervall
und f : Ω × I eine Abbildung mit den Eigenschaften
(i) für jedes x ∈ I ist (ω ↦→ f(ω, x)) ∈L1 (μ),
(ii) für fast alle ω ∈ Ω ist I → R, x ↦→ f(ω, x) differenzierbar, wobei wir die
Ableitung mit f ′ bezeichnen,
(iii) h := supx∈I |f ′ ( · ,x)| ∈L1 (μ).
Dann gilt: Für jedes x ∈ I ist f ′ ( · ,x) ∈ L1 � (μ). Die Funktion F : x ↦→
f(ω, x) μ(dω) ist differenzierbar mit Ableitung
F ′ �
(x) = f ′ (ω, x) μ(dω).
Beweis. Sei x0 ∈ I und (xn)n∈N eine Folge in I mit xn �= x0 für jedes n ∈ N,
sowie lim
n→∞ xn = x0. Wir zeigen, dass entlang der Folge (xn)n∈N die Differenzenquotienten
konvergieren. Setze
gn(ω) = f(ω, xn) − f(ω, x0)
xn − x0
Nach Voraussetzung (ii) gilt
gn
für jedes ω ∈ Ω.
n→∞
−→ f ′ ( · ,x0) μ − fast überall.
Nach dem Zwischenwertsatz der Differentialrechnung existiert zu jedem n ∈ N und
fast jedem ω ∈ Ω ein yn(ω) ∈ I mit gn(ω) =f ′ (ω, yn(ω)). Speziell ist |gn| ≤h
für jedes n ∈ N. Nach dem Satz von der majorisierten Konvergenz (Korollar 6.26)
ist also die Grenzfunktion f ′ ( · ,x0) in L1 (μ) und
F (xn) − F (x0)
lim
= lim
n→∞ xn − x0 n→∞
�
�
gn(ω) μ(dω) = f ′ (ω, x0) μ(dω). ✷
Beispiel 6.29. (Laplace-Transformation) Sei X eine nichtnegative Zufallsvariable
auf (Ω,A, P), I =[0, ∞) und f(x, λ) =e−λx für λ ∈ I. Dannist
F (λ) =E � e −λX�
in (0, ∞) unendlich oft differenzierbar. Die ersten Ableitungen sind F ′ (λ) =
−E[Xe −λX ] und F ′′ (λ) =E[(X 2 )e −λX ]. Sukzessive erhalten wir die n-te Ableitung
F (n) (λ) =E[(−X) n e −λX ]. Es gilt (monotone Konvergenz)
E[X] =− lim
λ↓0 F ′ (λ) (6.7)