Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

250 13 Konvergenz von Maßen
δ := sup
n∈N
inf
N∈N sup μ(A
μ∈F
c n,N ).
Dann gibt es ein n ∈ N, sodass für jedes N ∈ N ein μN ∈ F existiert mit
μN(A c n,N ) ≥ δ/2. DaF schwach relativ folgenkompakt ist, besitzt (μN )N∈N
eine schwach konvergente Teilfolge (μNk )k∈N mit einem schwachen Limes μ ∈
M≤1(E). Nach dem Portemanteau Theorem (Satz 13.16(iv)) gilt für jedes N ∈ N
μ(A c n,N ) ≥ lim inf
k→∞ μNk (Acn,N ) ≥ lim inf
k→∞ μNk (Acn,Nk ) ≥ δ/2.
Andererseits gilt Ac n,N ↓∅für N →∞, also μ(Ac N→∞
n,N ) −→ 0. Mithin ist δ =0.
Sei nun ε>0 beliebig. Nach dem eben Gezeigten können wir zu jedem n ∈ N
ein N ′ n ∈ N wählen, sodass μ(Ac n,N ′ n )