Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

460 21 Die Brown’sche Bewegung
21.9 Pfadweise Konvergenz von Verzweigungsprozessen ∗
In diesem Abschnitt untersuchen wir die Konvergenz reskalierter Galton-Watson-
Prozesse (Verzweigungsprozesse). Ähnlich wie für Summen unabhängiger Zufallsvariablen
zeigen wir zunächst die Konvergenz zu einem festen Zeitpunkt gegen die
Verteilungen eines Grenzprozesses. Hernach zeigen wir Konvergenz der endlichdimensionalen
Verteilungen und schließlich mit Hilfe des Kolmogorov’schen Straffheitskriteriums
die Konvergenz im Pfadraum C([0, ∞)).
Wir betrachten einen Galton-Watson-Prozess (Zn)n∈N0 mit geometrischer Nachkommenverteilung
p(k) =2 −k−1
für k ∈ N0.
Das heißt, wir betrachten u.i.v. Zufallsvariablen Xn,i, n, i ∈ N0 auf N0 mit
P[Xn,i = k] =p(k), k ∈ N0 und definieren, ausgehend vom Startzustand Z0,
rekursiv
Zn �
Zn+1 = Xn,i.
i=1
Z ist also eine Markovkette mit Übergangswahrscheinlichkeiten p(i, j) =p∗i (j),
wobei p∗i die i-te Faltungspotenz von p ist. Mit anderen Worten: Sind Z, Z1 ,...,Zi unabhängige Kopien des Galton-Watson-Prozesses, mit Z0 = i und Z1 0 = ... =
Zi 0 =1,soist
Z D = Z 1 + ...+ Z i . (21.38)
Wir betrachten nun die Erzeugendenfunktion ψ (1) (s) := ψ(s) := E[sX1,1 ] von
X1,1, s ∈ [0, 1], und deren Iterierte ψ (n) := ψ (n−1) ◦ ψ für n ∈ N. Dann ist nach
Lemma 3.10 Ei[sZn ]=E1[sZn ] i = � ψ (n) (s) �i
.Für die geometrische Verteilung
können wir ψ (n) leicht ausrechnen.
Lemma 21.44. Für den Verzweigungsprozess mit kritischer, geometrischer Nachkommenverteilung
ist die n-te Iterierte der Erzeugendenfunktion
Beweis. Wir berechnen
ψ(s) =
ψ (n) (s) =
∞�
k=0
n − (n − 1)s
n +1− ns .
2 −k−1 s k =
1
−s +2 .
Um die Iterierten auszurechnen, betrachten wir zunächst allgemeine linear rationale
Funktionen der Form f(x) = ax+b
cx+d .Für f von dieser Form definieren wir die Matrix
� �
ab
Mf = .Für zwei linear rationale Funktionen f und g ist Mf◦g = Mf · Mg.
cd
Wir berechnen leicht