Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

426 20 Ergodentheorie
20.5 Mischung
Ergodizität stellt einen relativ schwachen Begriff für Unabhängigkeit“ oder Durch-
” ”
mischung“ dar. Auf dem anderen Ende der Skala steht als stärkster Begriff u.i.v.“.
”
Hier wollen wir dazwischen liegende Mischungsbegriffe betrachten.
Sei im Folgenden stets (Ω,A, P,τ) ein maßerhaltendes dynamisches System und
Xn := X0 ◦ τ n . Wir beginnen mit einer einfachen Betrachtung.
Satz 20.23. (Ω,A, P,τ) ist genau dann ergodisch, wenn für alle A, B ∈Agilt
lim
n→∞
n−1
1 �
n
k=0
Beweis. ” =⇒ “ Sei (Ω,A, P,τ) ergodisch. Setze
Yn := 1
n−1 �
n
k=0
P � A ∩ τ −k (B) � = P[A] P[B]. (20.7)
τ −k (B) = 1
n−1 �
n
k=0
n→∞
B ◦ τ k .
Nach dem Birkhoff’schen Ergodensatz gilt Yn −→ P[B] fast sicher. Also gilt
n→∞
−→ A P[B] fast sicher. Majorisierte Konvergenz liefert
Yn A
n−1
1 �
P
n
� A ∩ τ −k (B) � = E [Yn A] n→∞
−→ E [ A P[B]] = P[A] P[B].
k=0
” ⇐= “ Gelte nun (20.7). Sei A ∈I(invariante σ-Algebra) und B = A. Offenbar
ist A ∩ τ −k (A) =A für jedes k ∈ N0. Also ist nach (20.7)
P[A] = 1
n−1 �
P
n
� A ∩ τ −k (A) � n→∞
−→ P[A] 2 .
k=0
Mithin ist P[A] ∈{0, 1}, also I trivial und damit τ ergodisch. ✷
Wir betrachten jetzt folgende Verschärfung von (20.7).
Definition 20.24. Ein maßerhaltendes dynamisches System (Ω,A, P,τ) heißt mischend,
falls
lim
n→∞ P � A ∩ τ −n (B) � = P[A] P[B] für alle A, B ∈A. (20.8)
Bemerkung 20.25. Gelegentlich wird die Mischungseigenschaft (20.8) auch als
stark mischend bezeichnet. Im Gegensatz dazu heißt (Ω,A, P,τ) schwach mischend,
falls