Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

514 24 Der Poisson’sche Punktprozess
Satz 24.14. Sei μ ∈ M(E) und X ein Poisson’scher Punktprozess mit Intensitätsmaß
μ. Dann hat X die Laplace-Transformierte
��
LX(f) =exp μ(dx) � e −f(x) − 1 ��
, f ∈B + (E),
und die charakteristische Funktion
��
ϕX(f) =exp μ(dx) � e if(x) − 1 ��
, f ∈B R b (E).
Beweis. Es reicht, die Aussage für Elementarfunktion f = �n l=1 αl Al mit komplexen
Zahlen α1,...,αn und paarweise disjunkten Mengen A1,...,An ∈Bb(E)
zu zeigen. (Die Aussagen für allgemeines f folgen dann mit den üblichen Approximationsargumenten.)
Für solches f ist aber
E � exp � − If (X) �� �
�n
= E e −αlX(Al)
�
=
=
l=1
l=1
n�
l=1
n� �
exp μ(Al) � e −αl
�
− 1 �
�
�n
=exp μ(Al) � e −αl
�
− 1 �
l=1
� �
=exp
� �
−αlX(Al)
E e
μ(dx) � e −f(x) − 1 ��
. ✷
Korollar 24.15 (Momente des PPP). Sei μ ∈M(E) und X ∼ PPPμ.
(i) Ist f ∈L 1 (μ), soistE[ � fdX]= � fdμ.
(ii) Ist f ∈L 2 (μ) ∩L 1 (μ), soistVar[ � fdX]= � f 2 dμ.
Beweis. Ist f ∈ L1 (μ), so vertauschen für die charakteristische Funktion Integral
und Differentiation d
dtϕX(tf) =iϕX(tf) � f(x) eitf(x) μ(dx), also ist (nach
Satz 15.31)
E � If (X) � = 1 d
i dt ϕX(tf) � �
� = fdμ.
t=0
Ist f ∈L 1 (μ) ∩L 2 (μ), solässt sich das Argument iterieren
d2 dt2 ϕX(tf)
� �
=−ϕX(tf)
f 2 (x) e itf(x) � �
μ(dx)+
f(x) e itf(x) �2 �
μ(dx) ,
also gilt E � If (X) 2� = − d2
dt2 ϕX(tf) � � = If 2(μ)+If (μ)
t=0
2 . ✷