Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

318 16 Unbegrenzt teilbare Verteilungen
Nicht jede unbegrenzt teilbare Verteilung ist vom Typ CPoiν, allerdings gilt:
Satz 16.5. Ein W-Maß μ auf R ist genau dann unbegrenzt teilbar, wenn es eine
n→∞
Folge (νn)n∈N in Mf (R \{0}) gibt mit CPoiνn −→ μ.
Da jedes CPoiνn unbegrenzt teilbar ist, müssen wir einerseits zeigen, dass diese
Eigenschaft unter schwachen Limiten erhalten bleibt. Andererseits zeigen wir, dass
für unbegrenzt teilbares μ die Folge νn = nμ∗1/n das Gewünschte leistet. Wir
bereiten den Beweis mit einem weiteren Satz vor.
Satz 16.6. Sei (ϕn)n∈N eine Folge von CFWs. Dann sind äquivalent:
(i) Für jedes t ∈ R existiert ϕ(t) = lim
n→∞ ϕnn(t), und ϕ ist stetig in 0.
(ii) Für jedes t ∈ R existiert ψ(t) = lim
n→∞ n(ϕn(t) − 1), und ψ ist stetig in 0.
Gelten (i) und (ii), so ist ϕ = e ψ eine CFW.
Beweis. Der Beweis beruht auf der Taylor-Entwicklung des Logarithmus’
| log(z) − (z − 1)| ≤|z − 1| 2 /2 für z ∈ C mit |z − 1| < 1/2.
Speziell gilt für (zn)n∈N in C
lim sup
n→∞
n |zn − 1| < ∞ ⇐⇒ lim sup |n log(zn)| < ∞. (16.2)
n→∞
und limn→∞ n(zn − 1) = limn→∞ n log(zn), falls einer der Limiten existiert.
Wenden wir dies auf zn = ϕn(t) an, so folgt (i) aus (ii). Andererseits folgt (ii) aus
(i), wenn lim infn→∞ n log(|ϕn(t)|) > −∞, also wenn ϕ(t) �= 0für jedes t ∈ R.
Da ϕ stetig in 0 ist und ϕ(0) = 1 gilt, gibt es ein ε>0 mit |ϕ(t)| > 1
2 für jedes
t ∈ [−ε, ε]. Daϕund ϕn CFWs sind, sind auch |ϕ| 2 und |ϕn| 2 CFWs. Aus der
punktweisen Konvergenz von |ϕn(t)| 2n gegen |ϕ(t)| 2 folgt nach dem Lévy’schen
Stetigkeitssatz also die gleichmäßige Konvergenz auf kompakten Mengen. Wende
nun (16.2) mit zn = |ϕn(t)| 2 an. Für t ∈ [−ε, ε] ist daher (n(1 −|ϕn(t)| 2 ))n∈N
beschränkt. Nach Lemma 15.11(v) ist dann aber auch n(1 −|ϕn(2t)| 2 ) ≤ 4n(1 −
|ϕn(t)| 2 ) beschränkt, also
|ϕ(2t)| 2 ≥ lim inf
n→∞ exp(4n(|ϕn(t)| 2 − 1)) = (|ϕ(t)| 2 ) 4 .
Iterativ erhalten wir |ϕ(t)| ≥2−(4k ) k für |t| ≤2 ε. Es gibt also ein γ>0, sodass
|ϕ(t)| > 1 t2
e−γ
2
Gelten (i) und (ii), so ist
für jedes t ∈ R. (16.3)