Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

232 12 Rückwärtsmartingale und Austauschbarkeit
Beispiel 12.28. Seien (Xn)n∈N austauschbar und Xn ∈{0, 1}. Dann existiert eine
Zufallsvariable Y : Ω → [0, 1], sodass für endliches J ⊂ N
P � Xj =1 für jedes j ∈ J � � Y � = Y #J .
Mit anderen Worten: Gegeben Y ist (Xn)n∈N unabhängig und BerY -verteilt. Vergleiche
Beispiel 12.3(iii). ✸
Beispiel 12.29. (Pólya’sches Urnenmodell) (Siehe Beispiel 14.38 und [127].) In
einer Urne seien anfangs N Kugeln, davon M schwarz und N − M weiß. In jedem
Schritt wird eine Kugel gezogen und zusammen mit einer weiteren Kugel der selben
Farbe wieder zurückgelegt. Sei
�
1, falls die n-te Kugel schwarz ist,
Xn :=
0, sonst,
und Sn = �n i=1 Xi. Dannist
P � Xn =1 � � Sn−1 �
+ M
X1,X2,...,Xn−1 =
N + n − 1 .
Sukzessive erhält man für x1,...,xn ∈{0, 1} und sk = �k i=1 xi
P � Xi = xi für jedes i =1,...,n �
= �
�
= (N − 1)!
i≤n: xi=1
M + si−1
N + i − 1
i≤n: xi=0
(N − 1+n)! · (M + sn − 1)!
(M − 1)!
N + i − 1 − M − si−1
N + i − 1
�
N − M − 1+(n− sn) � !
.
(N − M − 1)!
Die rechte Seite hängt nur von sn und nicht von der Reihenfolge der x1,...,xn ab.
1
Also ist (Xn)n∈N austauschbar. Sei Z = lim
n→∞ nSn.Dannist(Xn)n∈Nunabhängig und identisch BerZ-verteilt gegeben Z. Also ist (siehe Beispiel 12.28)
E [Z n ]=E � P � X1 = ···= Xn =1 � ��
�Z = P [Sn = n]
= (N − 1)!
(M − 1)!
(M + n − 1)!
(N + n − 1)!
für jedes n ∈ N.
Nach Übung 5.1.2 sind dies sind aber gerade die Momente der Beta-Verteilung
βM,N−M auf [0, 1] mit Parametern (M,N − M) (siehe Beispiel 1.107(ii)). Durch
Angabe der Momente ist eine Verteilung auf [0, 1] eindeutig bestimmt (Satz 15.4).
Also gilt Z ∼ βM,N−M . ✸