Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

450 21 Die Brown’sche Bewegung
Nach der Parseval’schen Gleichung und der Bienaymé Formel ist
also gilt:
Wir nennen
�f� 2 2 =
∞�
〈f,bn〉 2 = Var � I(f) � = E � I 2� ,
n=1
I : L 2 ([0, 1]) → L 2 (P), f ↦→ I(f) ist eine Isometrie. (21.25)
� t
0
f(s) dWs := I � � 2
f [0,t] , t ∈ [0, 1], f∈ L ([0, 1]),
das stochastische Integral von f bezüglich W . Durch Xt := � t
0 f(s) dWs wird ein
stetiger, zentrierter, Gauß’scher Prozess definiert mit Kovarianzfunktion
Cov[Xs,Xt] =
� s∧t
0
f 2 (u) du.
In der Tat ist klar, dass X zentriert und Gauß’sch ist (als Limes von Gauß’schen
Partialsummenprozessen) mit der angegebenen Kovarianzfunktion. Ferner folgt
die Stetigkeit wie für die Brown’sche Bewegung mit den vierten Momenten der
Zuwächse, die wir bei normalverteilten Zufallsvariablen aus den Varianzen berechnen
können (vergleiche Satz 21.9).
In dem Spezialfall f = �n i=1 αi (ti−1,ti] für gewisses n ∈ N und 0=t0