Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

22.2 Skorohod’scher Einbettungssatz 481
Zur Vorbereitung des Beweises bringen wir ein Lemma. Wir wollen dabei als Integranden
Maße zulassen. Wir verwenden deshalb folgende Notation: Ist μ ∈M(E)
ein Maß und f ∈L 1 (μ) nichtnegativ, so wird � μ(dx)f(x)δx := fμ definiert, wobei
fμdas Maß mit Dichte f bezüglich μ ist. Dies ist konsistent, denn für messbares
A ⊂ E ist dann
��
μ(dx)f(x)δx
� �
(A) =
�
μ(dx)f(x)δx(A) = μ(dx)f(x) A(x) =fμ(A).
Lemma 22.8. Sei μ ∈M1(R) mit � xμ(dx) =0und σ2 := � x2 μ(dx) < ∞.
Dann existiert ein W-Maß θ ∈M1((−∞, 0) × [0, ∞)) mit
� �
v
μ = θ(d(u, v))
v − u δu + −u
v − u δv
�
. (22.8)
Es ist σ 2 = − � uv θ(d(u, v)).
Beweis. Wir setzen m := �
Dann ist
[0,∞)
vμ(dv) =− �
(−∞,0)
uμ(du) und
θ(d(u, v)) := m −1 (v − u) μ(du)μ(dv) für u