Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

492 23 Große Abweichungen
Beweis. Indem wir gegebenenfalls Xi − x betrachten, können wir E[Xi] < 0 und
x = 0 annehmen. (Ist nämlich ˜ Xi := Xi − x und ˜ Λ und ˜ Λ∗ wie oben für ˜ Xi
definiert, so ist ˜ Λ(t) =Λ(t) − t · x und daher ˜ Λ∗ (0) = supt∈R(− ˜ Λ(t)) = Λ∗ (x).)
Setze ϕ(t) :=eΛ(t) und
ϱ := e −Λ∗ (0) =inf
t∈R ϕ(t).
Nach (23.9) und dem Differentiationslemma (Satz 6.28) ist ϕ unendlich oft differenzierbar,
und die ersten beiden Ableitungen sind
ϕ ′ (t) =E � X1 e tX1�
und ϕ ′′ (t) =E � X 2 1 e tX1� .
Also ist ϕ strikt konvex und ϕ ′ (0) = E[X1] < 0.
Sei zunächst der Fall P[X1 ≤ 0] = 1 betrachtet. Dann ist ϕ ′ (t) < 0 für jedes t ∈ R
und ϱ = lim ϕ(t) =P[X1 =0]. Es folgt
t→∞
und damit die Behauptung.
P[Sn ≥ 0] = P[X1 = ...= Xn =0]=ϱ n
Sei nun P[X1 < 0] > 0 und P[X1 > 0] > 0. Dannistlim ϕ(t) = ∞ =
t→∞
lim ϕ(t).Daϕ strikt konvex ist, besitzt ϕ eine eindeutige Minimalstelle τ ∈ R,
t→−∞
also
ϕ(τ) =ϱ und ϕ ′ (τ) =0.
Wegen ϕ ′ (0) < 0 ist τ>0. Mit Hilfe der Markov’schen Ungleichung (Satz 5.11)
erhalten wir die Abschätzung
P[Sn ≥ 0] = P � e τSn ≥ 1 � ≤ E � e τSn� = ϕ(τ) n = ϱ n .
Wir erhalten so die obere Schranke:
lim sup
n→∞
1
n log P[Sn ≥ 0] ≤ log ϱ = −Λ ∗ (0).
Im Rest des Beweises müssen wir also die umgekehrte Ungleichung zeigen:
lim inf
n→∞
1
n log P[Sn ≥ 0] ≥ log ϱ. (23.11)
Wir verwenden eine Methode der exponentiellen Größenverzerrung der Verteilung
μ := PX1 von X1, die untypische Werte typisch macht, damit man sie besser untersuchen
kann. Wir definieren also die Cramér-Transformierte ˆμ ∈M1(R) von
μ durch
ˆμ(dx) =ϱ −1 e τx μ(dx) für x ∈ R.
Seien ˆ X1, ˆ X2,...unabhängig und identisch verteilt mit PXi ˆ =ˆμ. Dannist