Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

484 22 Gesetz vom iterierten Logarithmus
Wir nehmen daher im Folgenden an, dass wir die Version Xn := fn(X), n ∈
N ∪{∞}fest gewählt haben. Offenbar sind fn, n ∈ N, und f∞ monoton wachsend.
Schließlich setzen wir noch Aσ(x) := �∞ .
n=1 Aσ(x) n
1. Schritt Wir zeigen, dass X∞ = X f.s. Sei zunächst |X| ≤ C f.s. für ein
C>0. Wir berechnen
E[(Xn − Xn−1) 2 �
]=E E � (Xn − Xn−1) 2 � �
�Gn−1 �
�
≥ E E � |Xn − Xn−1| � � �
2 �Gn−1 �
= E E � |X − Xn−1| � � �
2 �Gn−1 Auf Grund der Martingaleigenschaft ist
≥ E � |X − Xn−1|] 2 ≥ (2C) −2 E � (X − Xn−1) 2� 2
E � (X − Xn) 2� = E � (X − Xn−1) 2� − E � (Xn − Xn−1) 2� .
Setzen wir an := E � (X − Xn) 2� /(4C 2 ), so folgt a0 ≤ 1 und
an ≤ an−1 − a 2 n−1
für jedes n ∈ N.
1
Induktiv erhalten wir an ≤ 1/(n +1),dennesista1≤ max x(1 − x) =
x∈[0,1]
4 , und
für n ≥ 2 ist wegen an−1 ≤ 1/2
an ≤ max
x∈[0,an−1] x(1 − x) =an−1(1
n − 1
− an−1) ≤
n2 n − 1
≤
n2 1
=
− 1 n +1 .
Es folgt Xn
n→∞
−→ X in L2 und damit X∞ = X fs.
Sei nun X nicht mehr notwendigerweise beschränkt. Für K>0 setzen wir
X K ⎧
⎨
X, falls |X| ≤K,
:= E[X |X >K],
⎩
E[X |X K,
falls X