Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

256 13 Konvergenz von Maßen
Da ε>0 beliebig war, folgt μ∗� �∞ äußeres Maß.
n=1 Gn
� ≤ � ∞
n=1 μ∗ (Gn). Mithin ist μ ∗ ein
4. Schritt (Abgeschlossene Mengen sind in μ∗-messbar) eine Menge B ⊂ E genau dann μ
Nach Lemma 1.49 ist
∗-messbar, wenn
μ ∗ (B ∩ G)+μ ∗ (B c ∩ G) ≤ μ ∗ (G) für alle G ∈ 2 E .
Indem wir das Infimum über alle offenen Mengen A ⊃ G bilden, reicht es zu zeigen,
dass für jedes abgeschlossene B und jedes offene A ⊂ E gilt, dass
μ ∗ (B ∩ A)+μ ∗ (B c ∩ A) ≤ β(A). (13.13)
Sei ε>0. Wähle C1 ∈Cmit C1 ⊂ A ∩ Bc und α(C1) >β(A∩ Bc ) − ε. Wähle
ferner C2 ∈Cmit C2 ⊂ A ∩ Cc 1 und α(C2) >β(A∩ Cc 1) − ε.WegenC1∩C2 = ∅
und C1 ∪ C2 ⊂ A folgt
β(A) ≥ α(C1 ∪ C2) =α(C1)+α(C2) ≥ β(A ∩ B c )+β(A ∩ C c 1) − 2ε
≥ μ ∗ (A ∩ B c )+μ ∗ (A ∩ B) − 2ε.
Indem wir ε → 0 gehen lassen, folgt (13.13). Damit ist der Beweis des Satzes von
Prohorov vollständig. ✷
Übung 13.3.1. Man zeige: Eine Familie F⊂Mf (R) ist genau dann straff, wenn
es eine messbare � Abbildung f : R → [0, ∞) gibt mit f(x) →∞für |x| →∞und
supμ∈F fdμ