Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

5.3 Starkes Gesetz der Großen Zahl 107
P � Sn ≥ (1 + δ)m � �
e
≤
δ
(1 + δ) 1+δ
�m
und
P � Sn ≤ (1 − δ)m � �
≤ exp − δ2 �
m
.
2
Hinweis: Verwende für Sn die Markov’sche Ungleichung mit f(x) =eλx für gewisses
λ>0 und finde dasjenige λ, das die Abschätzung optimiert. ♣
5.3 Starkes Gesetz der Großen Zahl
Wir kommen nun zu einem starken Gesetz der großen Zahl, nämlich dem in der
Form von Etemadi für identisch verteilte, paarweise unabhängige Zufallsvariablen.
Es gibt viele verschiedene Formen von starken Gesetzen der großen Zahl, die unterschiedliche
Voraussetzungen machen. So kann man darauf verzichten, dass die
Zufallsvariablen identisch verteilt sind, wenn man stärkere Annahmen, etwa beschränkte
Varianzen, macht und so weiter. Wir werden hier nicht bis in alle Tiefen
gehen, sondern nur exemplarisch ein paar Aussagen vorstellen. Um die Methode für
den Beweis des Satzes von Etemadi zu illustrieren, stellen wir zunächst ein Starkes
Gesetz der großen Zahl unter stärkeren Annahmen vor.
Satz 5.16. Sind X1,X2,... ∈L 2 (P) paarweise unabhängig (das heißt, Xi und
Xj sind unabhängig für alle i, j ∈ N mit i �= j) und identisch verteilt, so genügt
(Xn)n∈N dem starken Gesetz der großen Zahl.
Beweis. Es sind (X + n )n∈N und (X− n )n∈N wieder paarweise unabhängige Familien
quadratintegrierbarer Zufallsvariablen (vergleiche Bemerkung 2.15(ii)). Es reicht
daher, (X + n )n∈N zu betrachten. Wir nehmen also im Folgenden an, dass Xn ≥ 0 ist
fast sicher für jedes n ∈ N.
Sei Sn = X1 + ...+ Xn für n ∈ N. Wähle ε>0. Für jedes n ∈ N setzen wir
kn = ⌊(1 + ε) n⌋≥ 1
2 (1 + ε)n . Dann ist nach der Chebyshev’schen Ungleichung
(Satz 5.11)
∞�
n=1
��
��� Skn
P
kn
�
�
�
∞�
− E[X1] �
� ≥ (1 + ε)−n/4 ≤ (1 + ε) n/2 Var � k −1
=
n=1
∞�
n Skn
(1 + ε)
n=1
n/2 k −1
n Var[X1]
≤ 2 Var[X1]
∞�
(1 + ε) −n/2 < ∞.
n=1
�
(5.6)