Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

13.3 Der Satz von Prohorov 253
�
sup μn(E) ≤ 1+supμn(L)
≤ 1+sup ρdμn < ∞,
n∈N
n∈N
n∈N
weil nach Voraussetzung � ρdμnkonvergiert. Es ist also auch
C := max(μ(E), sup{μn(E) : n ∈ N}) < ∞,
und wir können zu μ/C und μn/C übergehen und ohne Einschränkung annehmen,
dass alle Maße in M≤1(E) liegen. Da Cc(E) trennend ist für M≤1(E) (siehe
Satz 13.11), folgt (i) aus Satz 13.34. ✷
Beweis des Satzes von Prohorov, Teil (i), allgemeiner Fall. Es gibt prinzipiell
zwei Möglichkeiten, den Satz im allgemeinen Fall zu beweisen. Die eine
Möglichkeit besteht darin, den Satz zunächst für Maße auf R d zu zeigen (das haben
wir für d =1bereits getan, siehe auch Übung 13.3.4 für d ≥ 2). In einem
zweiten Schritt wird die Aussage auf Folgenräume R N angehoben. Schließlich wird
im dritten Schritt eine Einbettung von E in R N konstruiert. Diesen Weg findet man
beispielsweise in [14] oder [84].
Wir folgen hier der anderen Route, wie sie etwa in [15] (beziehungsweise [17]) oder
[43] dargestellt wird. Der Hauptpunkt des Beweises besteht darin, einen Kandidaten
für einen schwachen Häufungspunkt der Familie F zu finden. Wir werden diesen
zunächst als Inhalt auf einem abzählbaren Mengensystem konstruieren und dann
ein äußeres Maß daraus ableiten. Schließlich zeigen wir, dass die abgeschlossenen
Mengen messbar bezüglich dieses äußeren Maßes sind. Die Argumentation verläuft
also in Teilen recht ähnlich wie beim Beweis des Satzes von Carathéodory.
Sei (E,d) ein metrischer Raum und F⊂M≤1(E) straff. Dann existiert eine aufsteigende
Folge K1 ⊂ K2 ⊂ K3 ⊂ ... von kompakten Mengen in E, sodass
μ(Kc n) < 1
n gilt für jedes μ ∈ F und jedes n ∈ N. Setze E′ := �∞ n=1 Kn.
Dann ist E ′ ein σ-kompakter, metrischer Raum, also insbesondere separabel. Da
nach Konstruktion μ(E \ E ′ ) = 0 für jedes μ ∈ F gilt, können wir jedes μ
als Maß auf E ′ auffassen. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir al-
so annehmen, dass Eσ-kompakt und damit separabel ist. Es existiert also eine
abzählbare Basis U der Topologie τ � � auf E, das heißt eine abzählbare Menge E
E
von offenen Mengen, sodass A = �
U∈U,U⊂A U für jedes offene A ⊂ E ist. Setze
C ′ := � U ∩ Kn : U ∈U,n∈ N � und
�
�N
C :=
n=1
Cn : N ∈ N und C1,...,CN ∈C ′
�
.
Offenbar ist C eine abzählbare Menge kompakter Mengen in E, und C ist vereinigungsstabil.
Jedes Kn hat eine endliche Überdeckung mit Mengen aus U, also ist
Kn ∈C.
Sei nun (μn)n∈N eine Folge in F. Mit Hilfe des Diagonalfolgenarguments (siehe
Beweis des Auswahlsatzes von Helly, Satz 13.33) können wir eine Teilfolge
(μnk )k∈N finden, für die der Grenzwert