Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

102 5 Momente und Gesetze der Großen Zahl
Ferner ist
E[X] =
n�
kP[X = k] =
k=0
= np ·
E[X(X − 1)] =
=
n�
k=1
n�
� �
n
k p
k
k (1 − p) n−k
k=0
� �
n − 1
p
k − 1
k−1 (1 − p) (n−1)−(k−1) = np.
n�
k(k − 1) P[X = k]
k=0
n�
� �
n
k(k − 1) p
k
k (1 − p) n−k
k=0
= np ·
n�
� �
n − 1
(k − 1) p
k − 1
k−1 (1 − p) (n−1)−(k−1)
k=1
= n(n − 1)p 2 ·
= n(n − 1)p 2 .
n�
k=2
� �
n − 2
p
k − 2
k−2 (1 − p) (n−2)−(k−2)
Also ist E[X 2 ]=E[X(X − 1)] + E[X] =n 2 p 2 + np(1 − p) und damit Var[X] =
np(1 − p).
Etwas einfacher als durch die direkte Berechnung sehen wir dies ein, indem wir
bemerken (siehe nach Beispiel 3.4(ii)), dass bn,p = b ∗n
1,p. Das heißt, es gilt (siehe
Satz 2.31) PX = PY1+...+Yn ,woY1,...,Yn unabhängig sind und Yi ∼ Berp für
jedes i =1,...,n. Es folgt
E[X] = nE[Y1] = np
Var[X] = nVar[Y1] = np(1 − p).
(iii) Seien μ ∈ R und σ 2 > 0 sowie X normalverteilt X ∼N μ,σ 2.Dannist
E[X] =
=
1
√ 2πσ 2
1
√ 2πσ 2
= μ +
� ∞
−∞
� ∞
1
√ 2πσ 2
−∞
� ∞
xe −(x−μ)2 /(2σ 2 ) dx
(x + μ) e −x2 /(2σ 2 ) dx
−∞
Ähnlich folgt Var[X] =E[X 2 ] − μ 2 = ...= σ 2 .
xe −x2 /(2σ 2 ) dx = μ
(5.3)
(5.4)