Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

1.3 Fortsetzung von Maßen 27
Definition 1.59 (Verteilungsfunktion). Eine rechtsseitig stetige, monoton wachsende
Funktion F : R → [0, 1] mit F (−∞) := lim F (x) =0und F (∞) :=
x→−∞
lim F (x) =1heißt Verteilungsfunktion. Gilt statt F (∞) =1lediglich F (∞) ≤
x→∞
1, soheißtFuneigentliche Verteilungsfunktion.
Ist μ ein (Sub-)W-Maß auf (R, B(R)), so heißt Fμ : x ↦→ μ((−∞,x]) die Verteilungsfunktion
von μ.
Offenbar ist Fμ rechtsseitig stetig und F (−∞) =0, weil μ stetig von oben und
endlich ist (Satz 1.36). Auf Grund der Stetigkeit von unten ist F (∞) =μ(R), also
ist Fμ tatsächlich eine (uneigentliche) Verteilungsfunktion, wenn μ ein (Sub-)W-
Maß ist.
Die Argumentation aus Beispiel 1.56 liefert nun den folgenden Satz.
Satz 1.60. Die Abbildung μ ↦→ Fμ ist eine Bijektion von der Menge der W-Maße
auf (R, B(R)) auf die Menge der Verteilungsfunktionen, beziehungsweise von der
Menge der Sub-W-Maße auf die der uneigentlichen Verteilungsfunktionen.
Wir sehen also, dass jedes endliche Maß auf (R, B(R)) ein Lebesgue-Stieltjes-Maß
für eine gewisse Funktion F ist. Für σ-endliche Maße ist dies im Allgemeinen
falsch, wie wir in Beispiel 1.58(iv) gesehen haben.
Wir kommen nun zu einem Satz, der Satz 1.55 mit dem Lebesgue-Stieltjes-Maß
kombiniert. Später werden wir sehen, dass dieser Satz in größerer Allgemeinheit
gültig ist. Speziell kann man auf die Bedingung verzichten, dass die einzelnen Faktoren
vom Lebesgue-Stieltjes-Typ sind.
Satz 1.61 (Endliche Produkte von Maßen). Sei n ∈ N, und seien μ1,...,μn
endliche Maße oder, allgemeiner, Lebesgue-Stieltjes-Maße auf (R, B(R)). Dann
existiert ein eindeutig bestimmtes, σ-endliches Maß μ auf (R n , B(R n )) mit
μ((a, b]) =
Wir nennen μ =:
n�
μi((ai,bi]) für alle a, b ∈ R n mit a