Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

25 Das Itô-Integral
Das Itô-Integral erlaubt es, stochastische Prozesse bezüglich der Zuwächse einer
Brown’schen Bewegung oder etwas allgemeinerer Prozesse zu integrieren. Wir entwickeln
das Itô-Integral zunächst für die Brown’sche Bewegung und dann für für
verallgemeinerte Diffusionsprozesse. Im dritten Abschnitt leiten wir die Itô-Formel
her. Diese Substitutionsformel für das Itô-Integral erlaubt es, in konkreten Fällen,
mit dem Itô-Integral wirklich zu rechnen. Wir wenden die Itô-Formel im vierten
Abschnitt an, um eine stochastische Lösung des Dirichlet-Problems zu formulieren.
Hiermit zeigen wir im fünften Abschnitt, dass die Brown’sche Bewegung (wie die
symmetrische einfache Irrfahrt) in niedrigen Dimensionen rekurrent ist, in hohen
Dimensionen hingegen transient.
25.1 Das Itô-Integral bezüglich der Brown’schen Bewegung
Sei W =(Wt)t≥0 eine Brown’sche Bewegung auf dem Raum (Ω,F, P) bezüglich
der Filtration F, die die üblichen Bedingungen erfüllt (siehe Definition 21.23).
Das heißt, W ist eine Brown’sche Bewegung und ist ein F-Martingal. Das Ziel dieses
Abschnittes ist es, für eine möglichst große Klasse von sinnvollen Integranden
H : Ω × [0, ∞) → R, (ω, t) ↦→ Ht(ω) ein Integral
I W � t
t (H) = Hs dWs
0
zu definieren, sodass (I W t (H))t≥0 ein stetiges F-Martingal ist. Da fast alle Pfade
s ↦→ Ws(ω) der Brown’schen Bewegung lokal unendliche Variation haben,
ist W (ω) nicht die Verteilungsfunktion eines signierten Lebesgue-Stieltjes-Maßes
auf [0, ∞). Daher können wir I W t (H) nicht im klassischen Rahmen der Integrationstheorie
definieren. Die grundlegende Idee, um dieses Integral zu konstruieren,
besteht darin, es im Sinne eines L 2 -Grenzwertes zu etablieren. Hierzu betrachten
wir zunächst ein elementares Beispiel.
Beispiel 25.1. Es seien X1,X2,... u.i.v. Zufallsvariablen mit P[Xn = 1] =
P[Xn = −1] = 1
2 .Sei (hn)n∈N eine Folge reeller Zahlen. Unter welchen Bedingungen
an (hn)n∈N ist die Reihe