Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

220 11 Martingalkonvergenzsätze und Anwendungen
Lemma 11.18. W ist ein Martingal. Speziell ist E[Z n ]=m n für jedes n ∈ N.
Beweis. Wir berechnen die bedingte Erwartung für n ∈ N0:
�
E[Wn+1
�Fn] =m −(n+1) �
E[Zn+1
�Fn] = m −(n+1) � �
Zn � �
E Xn,i
�Fn
= m −(n+1)
= m −n
i=1
∞�
E � � �
{Zn=k}k · Xn,i
�Fn
k=1
∞�
E � � �
k · �Fn
{Zn=k}
k=1
= m −n Zn = Wn. ✷
Satz 11.19. Sei Var[X1,1] ∈ (0, ∞). Es existiert der fast sichere Limes W∞ =
lim
n→∞ Wn, und es gilt
m>1 ⇐⇒ E[W∞] =1 ⇐⇒ E[W∞] > 0.
Beweis. W∞ existiert, weil W ≥ 0 ein Martingal ist. Ist m ≤ 1, so folgt, dass
(Zn)n∈N f.s. gegen ein Z∞ konvergiert. Wegen σ2 > 0 kommt nur Z∞ =0in
Frage.
Sei nun m>1. Es gilt nach dem Satz von Blackwell-Girshick (Satz 5.10) wegen
E[Zn−1] =mn−1 (Lemma 11.18)
Var[Wn] =m −2n � σ 2 E[Zn−1]+m 2 Var[Zn−1] �
= σ 2 m −(n+1) + Var[Wn−1].
Induktiv folgt Var[Wn] =σ 2
n+1 �
m
k=2
−k ≤ σ2 m
m − 1 < ∞. AlsoistWin L2 beschränkt,
und Satz 11.10 liefert, dass Wn → W∞ in L2 und damit auch in L1 .
Speziell ist E[W∞] =E[W0] =1. ✷
Unter der Annahme der endlichen Varianz waren die Aussagen von Satz 11.19 nicht
schwer zu zeigen. Es gilt aber eine viel stärkere Aussage, die wir hier nur zitieren
(siehe [94], beziehungsweise [108] für einen modernen Beweis).
Satz 11.20 (Kesten-Stigum (1966)). Sei m>1. Dann sind äquivalent
(i) E[W∞] =1,
(ii) E[W∞] > 0,
(iii) E[X1,1 log(X1,1) + ] < ∞.