Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

24.2 Eigenschaften des Poisson’schen Punktprozesses 517
Bemerkung 24.21. Wir können Y schreiben als Y = α + � xδt X(d(x, t)), woδt
die Einheitsmasse in t ∈ E ist. Wenn wir nun statt xδt allgemeinere Maße χ ∈
M(E) zulassen, so erhalten wir eine Darstellung
�
Y = α + χX(dχ),
M(E)
wo X ∼ PPPν auf M(E) und ν ∈M(M(E)) mit � ν(dχ)(χ(A)∧1) < ∞ für jedes
A ∈Bb(E). Man kann zeigen, dass dies die allgemeinste Form eines unbegrenzt
teilbaren Maßes auf E ist. Wir nennen ν das kanonische Maß von Y und α den deterministischen
Anteil. Y ist charakterisiert durch die Laplace-Transformierte, die
der Lévy-Khinchin Formel genügt:
LY (f) =exp
� �
−
�
fdα+
ν(dχ) � e − � fdχ − 1 � �
. ✸
Satz 24.22 (Färbungssatz). Sei F ein weiterer lokalkompakter, polnischer Raum
und μ ∈M(E) atomlos sowie (Yx)x∈E u.i.v. Zufallsvariablen mit Werten in F und
Verteilung ν ∈M1(F ). Dann ist
�
Z(A) := A(x, Yx) X(dx), A ∈B(E × F ),
ein PPPμ⊗ν auf E × F .
Beweis. Übung! ✷
Wir wollen die Aussage des Färbungssatzes in nahe liegender Weise verallgemeinern:
Die Annahme, dass das Maß μ atomlos ist, sorgt schließlich nur dafür, dass X
keine Doppelpunkte hat, also für jede Einheitsmasse, die X produziert, eine andere
Zufallsvariable Yx zur Verfügung steht. Außerdem wollen wir für jeden Punkt x
eine eigene Verteilung von Yx erlauben.
Seien also E,F lokalkompakte, polnische Räume, μ ∈ M(E) und κ ein stochastischer
Kern von E nach F mit μκ := � μ(dx)κ(x, · ) ∈ M(F ). Seien
(Yx,t) x∈E, t∈[0,1] unabhängige Zufallsvariablen mit Verteilungen PYx,t = κ(x, · )
für x ∈ E und t ∈ [0, 1].
Wir definieren zu X ∼ PPPμ das Lifting ˜ X als den PPP auf E × [0, 1] mit
Intensitätsmaß μ ⊗ λ � � [0,1] ,woλ das Lebesgue-Maß ist. Offenbar ist dann X D =
˜X( · × [0, 1]). Das zufällige Maß ˜ X können wir also als Realisierung von X auffassen,
wobei wir den einzelnen Punkten von X willkürlich eine Markierung mit
Werten aus [0, 1] gegeben haben, um sie zu unterscheiden. Wir setzen nun
X κ �
(A) := ˜X(d(x, t)) A(Yx,t) für A ∈B(F ).