Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

16.1 Die Lévy-Khinchin Formel 321 Satz 16.14 (Lévy-Khinchin Formel auf [0, ∞)). Sei μ ∈M1([0, ∞)) und u : [0, ∞) → [0, 1], t ↦→ −log � e −tx μ(dx) die log-Laplace Transformierte von μ. Genau dann ist μ unbegrenzt teilbar, wenn es ein α ≥ 0 und ein σ-endliches Maß ν ∈M((0, ∞)) mit � (1 ∧ x) ν(dx) < ∞ (16.5) gibt, sodass � �1 −tx u(t) =αt + − e � ν(dx) für t ≥ 0. (16.6) Das Paar (α, ν) ist dann eindeutig. Wir nennen ν das kanonische Maß oder Lévy- Maß von μ und α den deterministischen Anteil. Beweis. ” =⇒ “ Sei zunächst μ unbegrenzt teilbar. Der Fall μ = δ0 ist trivial. Sei nun μ �= δ0, also u(1) > 0. n→∞ Nach Satz 16.5 existieren ν1,ν2,...∈Mf (R\{0}) mit CPoiνn −→ μ. Offenbar können wir νn((−∞, 0)) = 0 annehmen. Setzen wir un(t) := � (1 − e−tx ) νn(dx), so gilt (nach (16.1)) un(t) n→∞ −→ u(t) für jedes t ≥ 0. Speziell ist un(1) > 0 für große n. Definiere ˜νn ∈M1([0, ∞)) durch ˜νn(dx) := 1−e−x un(1) νn(dx). Für jedes t ≥ 0 gilt dann � e −tx ˜νn(dx) = un(t +1)−un(t) n→∞ u(t +1)−u(t) −→ . un(1) u(1) Also existiert ˜ν := w-lim ˜νn (in M1([0, ∞)) und ist eindeutig durch u festgelegt. Wir setzen α := ˜ν({0}) u(1) und definieren ν ∈M((0, ∞)) durch ν(dx) =u(1)(1 − e −x ) −1 (0,∞)(x)˜ν(dx). Wegen 1 ∧ x ≤ 2(1 − e−x ) für alle x ≥ 0 ist dann offenbar � � (1 ∧ x) ν(dx) ≤ 2 (1 − e −x ) ν(dx) ≤ u(1) < ∞. Für jedes t ≥ 0 ist die Funktion (vergleiche (15.8)) ft :[0, ∞) → [0, ∞), x ↦→ � 1−e −tx 1−e −x , falls x>0, t, falls x =0, stetig und beschränkt (durch t ∧ 1), also gilt u(t) = lim n→∞ un(t) = lim n→∞ un(1) � � ft d˜νn � = u(1) ft d˜ν = αt + (1 − e −tx ) ν(dx).
322 16 Unbegrenzt teilbare Verteilungen ” ⇐= “ Seien nun α und ν gegeben. Sei I0 =[1, ∞) und Ik =[1/(k +1), 1/k) für k ∈ N. Seien X0,X1,...unabhängige Zufallsvariablen mit PXk =CPoi (ν| Ik ) für k = 0, 1,..., und sei X := α + �∞ k=0 Xk. � Für jedes k ∈ N ist E[Xk] = Ik xν(dx), also ist �∞ k=1 E[Xk] = � xν(dx) < ∞. Mithin gilt X
Seite 1 und 2:
Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie
Seite 3 und 4:
Prof. Dr. Achim Klenke Institut fü
Seite 5 und 6:
VI Vorwort In den ersten acht Kapit
Seite 7 und 8:
VIII Inhaltsverzeichnis 5.3 Starkes
Seite 9 und 10:
X Inhaltsverzeichnis 17.1 Begriffsb
Seite 11 und 12:
XII Inhaltsverzeichnis Literatur...
Seite 13 und 14:
2 1 Grundlagen der Maßtheorie Defi
Seite 15 und 16:
4 1 Grundlagen der Maßtheorie Defi
Seite 17 und 18:
6 1 Grundlagen der Maßtheorie Satz
Seite 19 und 20:
8 1 Grundlagen der Maßtheorie Nach
Seite 21 und 22:
10 1 Grundlagen der Maßtheorie Bew
Seite 23 und 24:
12 1 Grundlagen der Maßtheorie (v)
Seite 25 und 26:
Seite 27 und 28:
16 1 Grundlagen der Maßtheorie Sat
Seite 29 und 30:
18 1 Grundlagen der Maßtheorie Bei
Seite 31 und 32:
20 1 Grundlagen der Maßtheorie (ii
Seite 33 und 34:
22 1 Grundlagen der Maßtheorie U(A
Seite 35 und 36:
Seite 37 und 38:
Seite 39 und 40:
28 1 Grundlagen der Maßtheorie Mes
Seite 41 und 42:
Seite 43 und 44:
32 1 Grundlagen der Maßtheorie Def
Seite 45 und 46:
Seite 47 und 48:
36 1 Grundlagen der Maßtheorie Wir
Seite 49 und 50:
38 1 Grundlagen der Maßtheorie Ana
Seite 51 und 52:
40 1 Grundlagen der Maßtheorie (ii
Seite 53 und 54:
42 1 Grundlagen der Maßtheorie (i)
Seite 55 und 56:
44 1 Grundlagen der Maßtheorie so
Seite 57 und 58:
Seite 59 und 60:
48 2 Unabhängigkeit Wir prüfen je
Seite 61 und 62:
50 2 Unabhängigkeit � � P j∈
Seite 63 und 64:
52 2 Unabhängigkeit (ii) Offensich
Seite 65 und 66:
54 2 Unabhängigkeit (iii) ” =⇒
Seite 67 und 68:
56 2 Unabhängigkeit Xn : Ω → E,
Seite 69 und 70:
58 2 Unabhängigkeit FY (x) =P �
Seite 71 und 72:
60 2 Unabhängigkeit Beweis. Für j
Seite 73 und 74:
62 2 Unabhängigkeit Beweis. ”
Seite 75 und 76:
64 2 Unabhängigkeit Beweis. Sei X
Seite 77 und 78:
66 2 Unabhängigkeit � � �
Seite 79 und 80:
68 2 Unabhängigkeit Aufgrund der M
Seite 81 und 82:
70 2 Unabhängigkeit 1 0 −1 �
Seite 83 und 84:
72 2 Unabhängigkeit 2. Schritt Wir
Seite 85 und 86:
74 2 Unabhängigkeit von Kanten k
Seite 87 und 88:
76 3 Erzeugendenfunktion (ii) Die V
Seite 89 und 90:
78 3 Erzeugendenfunktion � � α
Seite 91 und 92:
80 3 Erzeugendenfunktion also ψSn(
Seite 93 und 94:
82 3 Erzeugendenfunktion Satz 3.11
Seite 95 und 96:
84 4 Das Integral m� m� n� α
Seite 97 und 98:
86 4 Das Integral fn ↑ f und gn
Seite 99 und 100:
88 4 Das Integral Zu (a): Es ist (f
Seite 101 und 102:
90 4 Das Integral Satz 4.17. Die Ab
Seite 103 und 104:
92 4 Das Integral Beispiel 4.22 (Pe
Seite 105 und 106:
94 4 Das Integral Satz 4.23 (Rieman
Seite 107 und 108:
96 4 Das Integral Hieraus folgt (4.
Seite 109 und 110:
98 5 Momente und Gesetze der Große
Seite 111 und 112:
100 5 Momente und Gesetze der Groß
Seite 113 und 114:
Seite 115 und 116:
Seite 117 und 118:
Seite 119 und 120:
Seite 121 und 122:
Seite 123 und 124:
Seite 125 und 126:
Seite 127 und 128:
Seite 129 und 130:
Seite 131 und 132:
Seite 133 und 134:
Seite 135 und 136:
6 Konvergenzsätze Im starken und s
Seite 137 und 138:
6.1 Fast-überall- und stochastisch
Seite 139 und 140:
6.1 Fast-überall- und stochastisch
Seite 141 und 142:
6.2 Gleichgradige Integrierbarkeit
Seite 143 und 144:
Seite 145 und 146:
Beweis. ” (i) =⇒ (ii)“ Dies i
Seite 147 und 148:
6.3 Vertauschung von Integral und A
Seite 149 und 150:
7 L p -Räume und Satz von Radon-Ni
Seite 151 und 152:
7.2 Ungleichungen und Satz von Fisc
Seite 153 und 154:
Seite 155 und 156:
Seite 157 und 158:
7.3 Hilberträume 147 wobei wir im
Seite 159 und 160:
7.3 Hilberträume 149 Da V vollstä
Seite 161 und 162:
7.4 Lebesgue’scher Zerlegungssatz
Seite 163 und 164:
7.4 Lebesgue’scher Zerlegungssatz
Seite 165 und 166:
7.5 Ergänzung: Signierte Maße 155
Seite 167 und 168:
Seite 169 und 170:
Seite 171 und 172:
V ′ := {F : V → R ist stetig un
Seite 173 und 174:
7.6 Ergänzung: Dualräume 163 Beme
Seite 175 und 176:
166 8 Bedingte Erwartungen Durch da
Seite 177 und 178:
168 8 Bedingte Erwartungen Offenbar
Seite 179 und 180:
170 8 Bedingte Erwartungen Satz 8.1
Seite 181 und 182:
172 8 Bedingte Erwartungen Korollar
Seite 183 und 184:
174 8 Bedingte Erwartungen Tat: Sei
Seite 185 und 186:
176 8 Bedingte Erwartungen Bemerkun
Seite 187 und 188:
178 8 Bedingte Erwartungen Beispiel
Seite 189 und 190:
180 8 Bedingte Erwartungen Ein sepa
Seite 191 und 192:
182 8 Bedingte Erwartungen Übung 8
Seite 193 und 194:
184 9 Martingale E = Z (mit der dis
Seite 195 und 196:
186 9 Martingale F = σ(D). Wir int
Seite 197 und 198:
188 9 Martingale Definition 9.22. I
Seite 199 und 200:
190 9 Martingale Beispiel 9.31. Wir
Seite 201 und 202:
192 9 Martingale Übung 9.2.4 (Ungl
Seite 203 und 204:
194 9 Martingale vorhersagbar und l
Seite 205 und 206:
196 9 Martingale Wir wollen nun X a
Seite 207 und 208:
10 Optional Sampling Sätze Wir hab
Seite 209 und 210:
10.1 Doob-Zerlegung und quadratisch
Seite 211 und 212:
10.2 Optional Sampling und Optional
Seite 213 und 214:
10.2 Optional Sampling und Optional
Seite 215 und 216:
Seite 217 und 218:
11 Martingalkonvergenzsätze und An
Seite 219 und 220:
E � (|X| ∗ n ∧ K) p� ≤ 11
Seite 221 und 222:
und C = � a,b∈Q a
Seite 223 und 224:
11.2 Martingalkonvergenzsätze 215
Seite 225 und 226:
11.2 Martingalkonvergenzsätze 217
Seite 227 und 228:
11.3 Beispiel: Verzweigungsprozess
Seite 229 und 230:
12 Rückwärtsmartingale und Austau
Seite 231 und 232:
12.1 Austauschbare Familien von Zuf
Seite 233 und 234:
12.1 Austauschbare Familien von Zuf
Seite 235 und 236:
1 n n� i=1 Xi In der Tat: Setzen
Seite 237 und 238:
12.3 Satz von de Finetti 229 Defini
Seite 239 und 240:
12.3 Satz von de Finetti 231 das he
Seite 241 und 242:
13 Konvergenz von Maßen In der Wah
Seite 243 und 244:
13.1 Wiederholung Topologie 235 Def
Seite 245 und 246:
13.1 Wiederholung Topologie 237 Da
Seite 247 und 248:
13.1 Wiederholung Topologie 239 Üb
Seite 249 und 250:
13.2 Schwache und vage Konvergenz 2
Seite 251 und 252:
Seite 253 und 254:
Seite 255 und 256:
Seite 257 und 258:
13.3 Der Satz von Prohorov 249 Satz
Seite 259 und 260:
13.3 Der Satz von Prohorov 251 besi
Seite 261 und 262:
13.3 Der Satz von Prohorov 253 �
Seite 263 und 264:
13.3 Der Satz von Prohorov 255 1. S
Seite 265 und 266:
13.4 Anwendung: Satz von de Finetti
Seite 267 und 268:
14 W-Maße auf Produkträumen Als M
Seite 269 und 270:
14.1 Produkträume 261 Definition 1
Seite 271 und 272:
14.2 Endliche Produkte und Übergan
Seite 273 und 274:
Seite 275 und 276:
Seite 277 und 278: 14.2 Endliche Produkte und Übergan
Seite 279 und 280: 14.2 Endliche Produkte und Übergan
Seite 281 und 282: 14.3 Satz von Ionescu-Tulcea und Pr
Seite 283 und 284: 14.3 Satz von Ionescu-Tulcea und Pr
Seite 285 und 286: 14.4 Markov’sche Halbgruppen 277
Seite 287 und 288: 14.4 Markov’sche Halbgruppen 279
Seite 289 und 290: 15 Charakteristische Funktion und Z
Seite 291 und 292: 15.1 Trennende Funktionenklassen 28
Seite 297 und 298: 15.2 Charakteristische Funktionen:
Seite 299 und 300: 15.2 Charakteristische Funktionen:
Seite 301 und 302: ϕμ(t) = 15.2 Charakteristische Fu
Seite 303 und 304: 15.3 Der Lévy’sche Stetigkeitssa
Seite 305 und 306: 15.3 Der Lévy’sche Stetigkeitssa
Seite 307 und 308: 15.4 Charakteristische Funktion und
Seite 309 und 310: � � � �ϕ(t + h) − � n
Seite 311 und 312: 15.4 Charakteristische Funktion und
Seite 313 und 314: 15.5 Der Zentrale Grenzwertsatz 305
Seite 317 und 318: Beweis. Für jedes n ∈ N ist νn
Seite 321 und 322: 15.6 Mehrdimensionaler Zentraler Gr
Seite 323 und 324: 316 16 Unbegrenzt teilbare Verteilu
Seite 327: 320 16 Unbegrenzt teilbare Verteilu
Seite 339 und 340: 17 Markovketten Markovprozesse mit
Seite 341 und 342: 17.1 Begriffsbildung und Konstrukti
Seite 343 und 344: Ex 17.1 Begriffsbildung und Konstru
Seite 345 und 346: 17.1 Begriffsbildung und Konstrukti
Seite 347 und 348: 17.2 Diskrete Markovketten, Beispie
Seite 349 und 350: 17.2 Diskrete Markovketten, Beispie
Seite 351 und 352: 17.3 Diskrete Markovprozesse in ste
Seite 353 und 354: Schreiben wir 17.3 Diskrete Markovp
Seite 355 und 356: 17.4 Diskrete Markovketten, Rekurre
Seite 357 und 358: 1 17.4 Diskrete Markovketten, Rekur
Seite 359 und 360: 17.5 Anwendung: Rekurrenz und Trans
Seite 367 und 368: 17.6 Invariante Verteilungen 361 Sa
Seite 369 und 370: 17.6 Invariante Verteilungen 363 Sa
Seite 371 und 372: 18 Konvergenz von Markovketten Wir
Seite 373 und 374: 3 1/2 1/2 2 1 1 18.1 Periodizität
Seite 375 und 376: 18.2 Kopplung und Konvergenzsatz 36
Seite 377 und 378: 18.2 Kopplung und Konvergenzsatz 37
Seite 379 und 380:
18.2 Kopplung und Konvergenzsatz 37
Seite 381 und 382:
18.2 Kopplung und Konvergenzsatz 37
Seite 383 und 384:
18.3 Markovketten Monte Carlo Metho
Seite 385 und 386:
1 0.8 0.6 0.4 0.2 Magnetisierung 18
Seite 387 und 388:
18.3 Markovketten Monte Carlo Metho
Seite 389 und 390:
18.4 Konvergenzgeschwindigkeit 383
Seite 391 und 392:
18.4 Konvergenzgeschwindigkeit 385
Seite 393 und 394:
Dabei ist die Varianz des einzelnen
Seite 395 und 396:
19 Markovketten und elektrische Net
Seite 397 und 398:
19.1 Harmonische Funktionen 391 Die
Seite 399 und 400:
19.3 Elektrische Netzwerke 393 Defi
Seite 401 und 402:
19.3 Elektrische Netzwerke 395 und
Seite 403 und 404:
x =0 0 u(0)=0 R R R R R R 1 2 3 4 5
Seite 405 und 406:
19.4 Rekurrenz und Transienz 19.4 R
Seite 407 und 408:
19.4 Rekurrenz und Transienz 401 Be
Seite 409 und 410:
19.4 Rekurrenz und Transienz 403 -
Seite 411 und 412:
Also ist R ′ eff(0 ↔∞)= 1 3
Seite 413 und 414:
Schritt 1. Die Schleife am rechten
Seite 415 und 416:
Alternative Lösung 19.5 Netzwerkre
Seite 417 und 418:
Übung 19.5.3. Man betrachte den Gr
Seite 419 und 420:
19.6 Irrfahrt in zufälliger Umgebu
Seite 421 und 422:
20 Ergodentheorie Gesetze der groß
Seite 423 und 424:
20.1 Begriffsbildung 417 Beispiel 2
Seite 425 und 426:
20.2 Ergodensätze 419 Daher ist X0
Seite 427 und 428:
Beweis. Setze Yn := � � � n
Seite 429 und 430:
20.4 Anwendung: Rekurrenz von Irrfa
Seite 431 und 432:
20.4 Anwendung: Rekurrenz von Irrfa
Seite 433 und 434:
1 lim n→∞ n 20.5 Mischung 427 n
Seite 435 und 436:
21 Die Brown’sche Bewegung In Bei
Seite 437 und 438:
21.1 Stetige Modifikationen 431 Fü
Seite 439 und 440:
21.1 Stetige Modifikationen 433 s
Seite 441 und 442:
21.1 Stetige Modifikationen 435 Üb
Seite 443 und 444:
21.2 Konstruktion und Pfadeigenscha
Seite 445 und 446:
21.2 Konstruktion und Pfadeigenscha
Seite 447 und 448:
21.3 Starke Markoveigenschaft 441
Seite 449 und 450:
21.3 Starke Markoveigenschaft 443 B
Seite 451 und 452:
21.4 Ergänzung: Feller Prozesse 44
Seite 453 und 454:
21.5 Konstruktion durch L 2 -Approx
Seite 455 und 456:
X n := 21.5 Konstruktion durch L 2
Seite 457 und 458:
21.6 Der Raum C([0, ∞)) 451 Übun
Seite 459 und 460:
21.7 Konvergenz von W-Maßen auf C(
Seite 461 und 462:
21.7 Konvergenz von W-Maßen auf C(
Seite 463 und 464:
21.8 Satz von Donsker 457 Satz 21.4
Seite 465 und 466:
E � ( ¯ T Kn,n t+s − ¯ T Kn,n
Seite 467 und 468:
und induktiv 21.9 Pfadweise Konverg
Seite 469 und 470:
21.9 Pfadweise Konvergenz von Verzw
Seite 471 und 472:
21.10 Quadratische Variation und lo
Seite 473 und 474:
Seite 475 und 476:
Seite 477 und 478:
Seite 479 und 480:
Seite 481 und 482:
Seite 483 und 484:
22 Gesetz vom iterierten Logarithmu
Seite 485 und 486:
22.1 Iterierter Logarithmus für di
Seite 487 und 488:
22.2 Skorohod’scher Einbettungssa
Seite 489 und 490:
Für n ∈ N und σ ∈{−, +} n s
Seite 491 und 492:
22.2 Skorohod’scher Einbettungssa
Seite 493 und 494:
M ′ n := sup |Bs − Btn−1 s∈
Seite 495 und 496:
490 23 Große Abweichungen 23.1 Sat
Seite 497 und 498:
492 23 Große Abweichungen Beweis.
Seite 499 und 500:
494 23 Große Abweichungen Λ ∗ (
Seite 501 und 502:
496 23 Große Abweichungen Beweis.
Seite 503 und 504:
498 23 Große Abweichungen Übung 2
Seite 505 und 506:
500 23 Große Abweichungen Seien nu
Seite 507 und 508:
502 23 Große Abweichungen Analog i
Seite 509 und 510:
504 23 Große Abweichungen Untere S
Seite 511 und 512:
506 23 Große Abweichungen 0.01 0.0
Seite 513 und 514:
508 23 Große Abweichungen Im Fall
Seite 515 und 516:
510 24 Der Poisson’sche Punktproz
Seite 517 und 518:
Seite 519 und 520:
Seite 521 und 522:
Seite 523 und 524:
Seite 525 und 526:
Seite 527 und 528:
Seite 529 und 530:
Seite 531 und 532:
25 Das Itô-Integral Das Itô-Integ
Seite 533 und 534:
25.1 Das Itô-Integral bezüglich d
Seite 535 und 536:
Seite 537 und 538:
Seite 539 und 540:
25.2 Itô-Integral bezüglich Diffu
Seite 541 und 542:
25.2 Itô-Integral bezüglich Diffu
Seite 543 und 544:
25.3 Die Itô-Formel 539 F (x) =x 2
Seite 545 und 546:
25.3 Die Itô-Formel 541 Da ε>0 be
Seite 547 und 548:
ft := lim n→∞ n� � 〈M〉t
Seite 549 und 550:
25.3 Die Itô-Formel 545 Korollar 2
Seite 551 und 552:
25.4 Dirichlet-Problem und Brown’
Seite 553 und 554:
25.5 Rekurrenz und Transienz der Br
Seite 555 und 556:
26 Stochastische Differentialgleich
Seite 557 und 558:
26.1 Starke Lösungen 553 Die Exist
Seite 559 und 560:
Die linke Seite in (26.6) ist aber
Seite 561 und 562:
und � t Jt := 0 � N b(s, Xs )
Seite 563 und 564:
1.5 1 0.5 0 26.1 Starke Lösungen 5
Seite 565 und 566:
26.2 Schwache Lösungen und Marting
Seite 567 und 568:
26.2 Schwache Lösungen und Marting
Seite 569 und 570:
Im Folgenden gelte stets: 26.2 Schw
Seite 571 und 572:
26.3 Eindeutigkeit schwacher Lösun
Seite 573 und 574:
Seite 575 und 576:
3 2 1 0 26.3 Eindeutigkeit schwache
Seite 577 und 578:
Seite 579 und 580:
Literatur 1. M. Aizenman, H. Kesten
Seite 581 und 582:
Literatur 577 37. R. M. Dudley. Rea
Seite 583 und 584:
Literatur 579 80. Jürgen Jost. Par
Seite 585 und 586:
Literatur 581 123. Jim Pitman und M
Seite 587 und 588:
Notation A Indikatorfunktion der Me
Seite 589 und 590:
μ ⊥ ν μist singulär bezüglic
Seite 591 und 592:
Glossar englischer Ausdrücke a.a.
Seite 593 und 594:
Namensregister Banach, Stefan, 1892
Seite 595 und 596:
Prohorov, Yurij Vasil’evich (Proh
Seite 597 und 598:
594 Sachregister Cesàro-Limes 62 C
Seite 599 und 600:
596 Sachregister -Itô-Formel - - m
Seite 601 und 602:
598 Sachregister Moran-Modell 343 d
Seite 603 und 604:
600 Sachregister - terminale 61, 22
Seite 605:
602 Sachregister Wählermodell 216
Alle anzeigen

Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

Erfolgreiche ePaper selbst erstellen

Template löschen?

Als Template speichern?