Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

7 L p -Räume und Satz von Radon-Nikodym
In diesem Kapitel wollen wir die Räume der Funktionen untersuchen, deren p-te
Potenz integrierbar ist. Wir leiten in Abschnitt 7.2 zunächst wichtige Ungleichungen
her (Hölder, Minkowski, Jensen) und untersuchen dann in Abschnitt 7.3 den
Fall p =2, wo wir Hilberträume vorliegen haben, im Detail. Neben den genannten
Ungleichungen sind die wichtigsten Ergebnisse für die Stochastik der Zerlegungssatz
von Lebesgue sowie der Satz von Radon-Nikodym in Abschnitt 7.4. Der Leser
mag beim ersten Lesen die anderen, eher analytisch als stochastisch ausgerichteten,
Teile dieses Kapitels überschlagen.
7.1 Definitionen
In Definition 4.16 hatten wir für messbares f : Ω → R definiert
��
�f�p := |f| p �1/p dμ für p ∈ [1, ∞),
und
�f�∞ := inf � K ≥ 0: μ(|f| >K)=0 � .
Ferner hatten wir die Räume definiert, wo diese Ausdrücke endlich sind
L p (Ω,A,μ)=L p (A,μ)=L p (μ) ={f : Ω → R ist messbar und �f�p < ∞}.
Wir hatten gesehen, dass � · �1 eine Pseudonorm auf L 1 (μ) ist. Unser erstes Ziel
ist es hier, � · �p zu einer echten Norm zu machen, und zwar für jedes p ∈ [1, ∞].
Abgesehen davon, dass die Dreiecksungleichung noch zu zeigen ist, müssen wir zu
diesem Zwecke auch den Raum verändern, denn es gilt nur
�f − g�p =0 ⇐⇒ f = g μ-f.ü.
Bei einer echten (also nicht nur Pseudo-)Norm muss aus der linken Seite schon
Gleichheit (nicht nur f.ü.) von f und g gelten. Wir sehen daher f und g als äquivalent
an, falls f = g fast überall. Sei also
N = {f ist messbar und f =0 μ-f.ü.}.