Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

16.1 Die Lévy-Khinchin Formel 321
Satz 16.14 (Lévy-Khinchin Formel auf [0, ∞)). Sei μ ∈M1([0, ∞)) und u :
[0, ∞) → [0, 1], t ↦→ −log � e −tx μ(dx) die log-Laplace Transformierte von μ.
Genau dann ist μ unbegrenzt teilbar, wenn es ein α ≥ 0 und ein σ-endliches Maß
ν ∈M((0, ∞)) mit �
(1 ∧ x) ν(dx) < ∞ (16.5)
gibt, sodass
�
�1 −tx
u(t) =αt + − e � ν(dx) für t ≥ 0. (16.6)
Das Paar (α, ν) ist dann eindeutig. Wir nennen ν das kanonische Maß oder Lévy-
Maß von μ und α den deterministischen Anteil.
Beweis. ” =⇒ “ Sei zunächst μ unbegrenzt teilbar. Der Fall μ = δ0 ist trivial.
Sei nun μ �= δ0, also u(1) > 0.
n→∞
Nach Satz 16.5 existieren ν1,ν2,...∈Mf (R\{0}) mit CPoiνn −→ μ. Offenbar
können wir νn((−∞, 0)) = 0 annehmen. Setzen wir un(t) := � (1 − e−tx ) νn(dx),
so gilt (nach (16.1)) un(t) n→∞
−→ u(t) für jedes t ≥ 0. Speziell ist un(1) > 0 für
große n. Definiere ˜νn ∈M1([0, ∞)) durch ˜νn(dx) := 1−e−x
un(1) νn(dx). Für jedes
t ≥ 0 gilt dann
�
e −tx ˜νn(dx) = un(t +1)−un(t) n→∞ u(t +1)−u(t) −→ .
un(1)
u(1)
Also existiert ˜ν := w-lim ˜νn (in M1([0, ∞)) und ist eindeutig durch u festgelegt.
Wir setzen α := ˜ν({0}) u(1) und definieren ν ∈M((0, ∞)) durch
ν(dx) =u(1)(1 − e −x ) −1 (0,∞)(x)˜ν(dx).
Wegen 1 ∧ x ≤ 2(1 − e−x ) für alle x ≥ 0 ist dann offenbar
�
�
(1 ∧ x) ν(dx) ≤ 2 (1 − e −x ) ν(dx) ≤ u(1) < ∞.
Für jedes t ≥ 0 ist die Funktion (vergleiche (15.8))
ft :[0, ∞) → [0, ∞), x ↦→
� 1−e −tx
1−e −x , falls x>0,
t, falls x =0,
stetig und beschränkt (durch t ∧ 1), also gilt
u(t) = lim
n→∞ un(t) = lim
n→∞ un(1)
�
�
ft d˜νn
�
= u(1) ft d˜ν = αt + (1 − e −tx ) ν(dx).