Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

1 Grundlagen der Maßtheorie
In diesem Kapitel führen wir die Mengensysteme ein, die eine systematische Betrachtung
von Ereignissen und zufälligen Beobachtungen in der Wahrscheinlichkeitstheorie
erlauben. Ferner sollen Maße, insbesondere Wahrscheinlichkeitsmaße,
auf solchen Mengensystemen konstruiert werden. Schließlich werden wir Zufallsvariablen
als messbare Abbildungen definieren.
1.1 Mengensysteme
Im Folgenden ist stets Ω �= ∅ eine Menge und A⊂2 Ω (Potenzmenge von Ω)
eine Familie von Teilmengen. Später wird die Menge Ω als Raum von Elementarereignissen
interpretiert werden und A als ein System von beobachtbaren Ereignissen.
Wir wollen in diesem Abschnitt Mengensysteme, die abgeschlossen sind unter
einfachen mengentheoretischen Verknüpfungen, mit Namen versehen und einfache
Beziehungen zwischen solchen Systemen herstellen.
Definition 1.1. Das Mengensystem A heißt
– ∩-stabil (sprich: schnittstabil) oder ein π-System, falls für je zwei Mengen
A, B ∈Agilt, dass auch A ∩ B ∈A,
– σ-∩-stabil (sigma-schnittstabil), falls für je abzählbar unendlich viele Mengen
A1,A2,...∈Agilt, dass auch ∞�
An ∈A,
n=1
– ∪-stabil (vereinigungsstabil), falls für je zwei Mengen A, B ∈Agilt, dass auch
A ∪ B ∈A,
– σ-∪-stabil (sigma-vereinigungsstabil), falls für je abzählbar unendlich viele Mengen
A1,A2,...∈Agilt, dass auch ∞�
An ∈A,
n=1
– \-stabil (differenzmengenstabil), falls für je zwei Mengen A, B ∈Agilt, dass
auch A \ B ∈A,
– komplementstabil, falls mit jeder Menge A ∈Aauch Ac := Ω \ A ∈Agilt.