Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

2.2 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen 57
Beweis. Das Mengensystem {(−∞,b], b∈ R} ist ein schnittstabiler Erzeuger der
Borel’schen σ-Algebra B(R) (siehe Satz 1.23). Die Gleichung (2.8) besagt nun aber,
dass für jede Wahl von reellen Zahlen (xi)i∈I die Ereignisse (X −1 ((−∞,xi]))i∈I
unabhängig sind. Nach Satz 2.16 folgt daher die Aussage dieses Satzes. ✷
Korollar 2.22. Zusätzlich zur Situation von Satz 2.21 nehmen wir an, dass jedes FJ
eine stetige Dichte fJ
fJ : R
= f (Xj)j∈J hat, das heißt, es gibt eine stetige Abbildung
J → [0, ∞) mit
� xj1 � xjn
FJ(x) = dt1 ··· dtn fJ(t1,...,tn) für jedes x ∈ R
−∞
−∞
J ,
(wobei J = {j1,...,jn}). Dann ist die Familie (Xi)i∈I genau dann unabhängig,
wenn für jedes endliche J ⊂ I gilt
fJ(x) = �
fj(xj) für jedes x ∈ R J . (2.9)
j∈J
Korollar 2.23. Seien n ∈ N und μ1,...,μn W-Maße auf (R, B(R)). Dann existiert
ein W-Raum (Ω,A, P) und eine unabhängige Familie von Zufallsvariablen
(Xi)i=1,...,n auf (Ω,A, P) mit PXi = μi für jedes i =1,...,n.
Beweis. Sei Ω = Rn und A = B(Rn ) sowie P = �n i=1 μi das Produktmaß der μi
(siehe Satz 1.61). Ferner sei Xi : Rn → R, (x1,...,xn) ↦→ xi die Projektion auf
die i-te Koordinate für jedes i =1,...,n.Dannistfür jedes i =1,...,n
F {i}(x) = P[Xi ≤ x] = P � R i−1 × (−∞,x] × R n−i−1�
� � �
� �
= μi (−∞,x] · μj(R) = μi (−∞,x] .
j�=i
Also gilt tatsächlich PXi = μi. Ferner ist für x1,...,xn ∈ R
� n �
F {1,...,n}(x1,...,xn) =P × (−∞,xi] =
i=1
n�
i=1
�
μi (−∞,xi] � =
n�
F {i}(xi).
Nach Satz 2.21 (und Satz 2.13(i)) folgt die Unabhängigkeit von (Xi)i=1,...,n. ✷
Beispiel 2.24. Seien X1,...,Xn unabhängige, exponentialverteilte Zufallsvariablen
mit Parametern θ1,...,θn ∈ (0, ∞). DannistF {i}(x) = � x
0 θi exp(−θit) dt =
1 − exp(−θix) für x ≥ 0 und daher
�
F {1,...,n} (x1,...,xn) � =
n� � −θixi 1 − e � .
Betrachte nun die Zufallsvariable Y =max(X1,...,Xn). Dannist
i=1
i=1