Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

60 2 Unabhängigkeit
Beweis. Für jedes n ∈ Z gilt
PX+Y ({n}) =P[X + Y = n]
�
�
= P
m∈Z
�
�
{X = m}∩{Y = n − m}
�
= �
P � {X = m}∩{Y = n − m} �
m∈Z
= �
PX[{m}] PY [{n − m}] = (PX∗PY )[{n}]. ✷
m∈Z
Auf Grund dieses Satzes liegt es nahe, die Faltung von zwei Wahrscheinlichkeitsmaßen
auf R n (oder allgemeiner: auf abelschen Gruppen) als die Verteilung der
Summe zweier unabhängiger Zufallsvariablen mit den entsprechenden Verteilungen
zu definieren. Wir werden später eine andere Definition kennen lernen, die natürlich
zu dieser äquivalent ist, jedoch auf den Integralbegriff zurückgreift, der hier noch
nicht verfügbar ist (siehe Definition 14.17).
Definition 2.32 (Faltung von Maßen). Seien μ und ν W-Maße auf R n , und seien
X und Y unabhängige Zufallsvariablen mit PX = μ und PY = ν. Dann definieren
wir die Faltung von μ und ν durch μ ∗ ν = PX+Y .
Iterativ definieren wir die Faltungspotenzen μ ∗k für k ∈ N, sowie μ ∗0 = δ0.
Beispiel 2.33. Seien X und Y unabhängig und Poisson-verteilt mit Parametern
μ, λ ≥ 0. Dann gilt
P[X + Y = n] =e −μ e −λ
n�
m=0
−(μ+λ) 1
= e
n!
μm λ
m!
n−m
(n − m)!
n�
� �
n
μ
m
m λ n−m −(μ+λ) (μ + λ)n
= e .
n!
m=0
Also ist Poiμ ∗ Poiλ =Poiμ+λ. ✸
Übung 2.2.1. Seien X und Y unabhängige Zufallsvariablen mit X ∼ exp θ und
Y ∼ exp ρ für gewisse θ, ρ > 0. Man zeige:
P[X