Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

262 14 W-Maße auf Produkträumen
Definition 14.9 (Zylindermengen). Für jedes i ∈ I sei Ei ⊂Ai ein Teilsystem der
messbaren Mengen.
Für jedes A ∈AJ heißt X −1
(A) ⊂ Ω Zylindermenge mit Basis J. Die Menge
J
dieser Zylindermengen wird mit ZJ bezeichnet. Ist speziell A = ×j∈J Aj für ge-
wisse Aj ∈Aj, so heißt X −1
J (A) Rechteckzylinder mit Basis J. Die Menge dieser
bezeichnet, die Menge aller Rechteckzylinder, für die
Rechteckzylinder wird mit ZR J
zusätzlich Aj ∈Ej für jedes j ∈ J gilt, mit Z E,R
J .
Wir schreiben
Z =
J⊂I endlich
und definieren analog ZR und ZE,R . Ferner definieren wir
und analog Z E,R
∗ .
Z R ∗ =
∞�
N=1
� N�
n=1
�
ZJ, (14.3)
An : A1,...,An ∈Z R
Bemerkung 14.10. Jedes ZJ ist eine σ-Algebra, und Z und Z R ∗ sind Algebren.
Außerdem gilt �
i∈I Ai = σ(Z). ✸
Lemma 14.11. Ist jedes Ei schnittstabil, beziehungsweise ein Semiring, so ist Z E,R
schnittstabil, beziehungsweise ein Semiring.
Beweis. Übung! ✷
Satz 14.12. Für jedes i ∈ I sei Ei ⊂Ai ein Erzeuger von Ai.
(i) Für jedes endliche J ⊂ I gilt � �
�
Aj = σ × Ej : Ej ∈Ej .
j∈J
j∈J
(ii) Es gilt �
Ai = σ(Z R )=σ � ZE,R� .
i∈I
(iii) Sei μ ein σ-endliches Maß auf A, und sei jedes Ei zudem schnittstabil. Ferner
gebe es eine Folge (En)n∈N in Z E,R mit En ↑ Ω und μ(En) < ∞ für jedes
n ∈ N (speziell ist diese Bedingung natürlich erfüllt, wenn μ endlich ist und
Ωi ∈Ei für jedes i ∈ I). Dann ist μ durch Angabe von μ(A) für jedes A ∈
Z E,R eindeutig festgelegt.
Beweis. (i) Sei A ′ J
�
= σ
× j∈J
× j∈J
�
�
Ej : Ej ∈Ej für jedes j ∈ J .Esist
Ej = �
j∈J
(X J j ) −1 (Ej) ∈AJ,