Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

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16.1 Die Lévy-Khinchin Formel 323 (16.9) äquivalent zu der Bedingung � (−1,1) x2 ν(dx) < ∞. Daν0 stets endlich ist, ist dies wiederum äquivalent zu � (x2 ∧ 1) ν(dx) < ∞. Definition 16.16. Ein σ-endliches Maß ν auf R mit ν({0}) =0und � �x 2 ∧ 1 � ν(dx) < ∞ (16.10) heißt kanonisches Maß.Sindσ 2 ≥ 0 und b ∈ R, so heißt (σ 2 ,b,ν) ein kanonisches Tripel. Zu jedem kanonischen Tripel gehört über die Konstruktion (16.8) eine unbegrenzt teilbare Zufallsvariable. Wir setzen ψ0(t) = log E � e itX0� � � � itx = e − 1 ν(dx) und für k ∈ N ψk(t) = log E � e it(Xk−αk) � � = Also genügt der Lévy-Khinchin Formel ψ(t) :=logE � e itX� = − σ2 2 t2 + ibt + ψ(t) =− σ2 2 t2 + ibt + I0 Ik � e itx − 1 − itx � ν(dx). ∞� ψk(t) k=0 � �e � itx − 1 − itx {|x|
324 16 Unbegrenzt teilbare Verteilungen (i) Durch (16.11) wird das kanonische Tripel eindeutig bestimmt. (ii) Zu jeder unbegrenzt teilbaren Verteilung existiert ein kanonisches Tripel, sodass (16.11) gilt. (i) Eindeutigkeit Wir setzen gt(x) =e itx − 1 − itx {|x|
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Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie
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Prof. Dr. Achim Klenke Institut fü
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VI Vorwort In den ersten acht Kapit
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VIII Inhaltsverzeichnis 5.3 Starkes
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X Inhaltsverzeichnis 17.1 Begriffsb
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XII Inhaltsverzeichnis Literatur...
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2 1 Grundlagen der Maßtheorie Defi
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4 1 Grundlagen der Maßtheorie Defi
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6 1 Grundlagen der Maßtheorie Satz
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8 1 Grundlagen der Maßtheorie Nach
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10 1 Grundlagen der Maßtheorie Bew
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12 1 Grundlagen der Maßtheorie (v)
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16 1 Grundlagen der Maßtheorie Sat
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18 1 Grundlagen der Maßtheorie Bei
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20 1 Grundlagen der Maßtheorie (ii
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22 1 Grundlagen der Maßtheorie U(A
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28 1 Grundlagen der Maßtheorie Mes
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32 1 Grundlagen der Maßtheorie Def
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36 1 Grundlagen der Maßtheorie Wir
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38 1 Grundlagen der Maßtheorie Ana
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40 1 Grundlagen der Maßtheorie (ii
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42 1 Grundlagen der Maßtheorie (i)
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44 1 Grundlagen der Maßtheorie so
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48 2 Unabhängigkeit Wir prüfen je
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50 2 Unabhängigkeit � � P j∈
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52 2 Unabhängigkeit (ii) Offensich
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54 2 Unabhängigkeit (iii) ” =⇒
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56 2 Unabhängigkeit Xn : Ω → E,
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58 2 Unabhängigkeit FY (x) =P �
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60 2 Unabhängigkeit Beweis. Für j
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62 2 Unabhängigkeit Beweis. ”
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64 2 Unabhängigkeit Beweis. Sei X
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66 2 Unabhängigkeit � � �
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68 2 Unabhängigkeit Aufgrund der M
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70 2 Unabhängigkeit 1 0 −1 �
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72 2 Unabhängigkeit 2. Schritt Wir
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74 2 Unabhängigkeit von Kanten k
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76 3 Erzeugendenfunktion (ii) Die V
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78 3 Erzeugendenfunktion � � α
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80 3 Erzeugendenfunktion also ψSn(
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82 3 Erzeugendenfunktion Satz 3.11
Seite 95 und 96:
84 4 Das Integral m� m� n� α
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86 4 Das Integral fn ↑ f und gn
Seite 99 und 100:
88 4 Das Integral Zu (a): Es ist (f
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90 4 Das Integral Satz 4.17. Die Ab
Seite 103 und 104:
92 4 Das Integral Beispiel 4.22 (Pe
Seite 105 und 106:
94 4 Das Integral Satz 4.23 (Rieman
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96 4 Das Integral Hieraus folgt (4.
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98 5 Momente und Gesetze der Große
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100 5 Momente und Gesetze der Groß
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6 Konvergenzsätze Im starken und s
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6.1 Fast-überall- und stochastisch
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6.1 Fast-überall- und stochastisch
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6.2 Gleichgradige Integrierbarkeit
Seite 143 und 144:
Seite 145 und 146:
Beweis. ” (i) =⇒ (ii)“ Dies i
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6.3 Vertauschung von Integral und A
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7 L p -Räume und Satz von Radon-Ni
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7.2 Ungleichungen und Satz von Fisc
Seite 153 und 154:
Seite 155 und 156:
Seite 157 und 158:
7.3 Hilberträume 147 wobei wir im
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7.3 Hilberträume 149 Da V vollstä
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7.4 Lebesgue’scher Zerlegungssatz
Seite 163 und 164:
7.4 Lebesgue’scher Zerlegungssatz
Seite 165 und 166:
7.5 Ergänzung: Signierte Maße 155
Seite 167 und 168:
Seite 169 und 170:
Seite 171 und 172:
V ′ := {F : V → R ist stetig un
Seite 173 und 174:
7.6 Ergänzung: Dualräume 163 Beme
Seite 175 und 176:
166 8 Bedingte Erwartungen Durch da
Seite 177 und 178:
168 8 Bedingte Erwartungen Offenbar
Seite 179 und 180:
170 8 Bedingte Erwartungen Satz 8.1
Seite 181 und 182:
172 8 Bedingte Erwartungen Korollar
Seite 183 und 184:
174 8 Bedingte Erwartungen Tat: Sei
Seite 185 und 186:
176 8 Bedingte Erwartungen Bemerkun
Seite 187 und 188:
178 8 Bedingte Erwartungen Beispiel
Seite 189 und 190:
180 8 Bedingte Erwartungen Ein sepa
Seite 191 und 192:
182 8 Bedingte Erwartungen Übung 8
Seite 193 und 194:
184 9 Martingale E = Z (mit der dis
Seite 195 und 196:
186 9 Martingale F = σ(D). Wir int
Seite 197 und 198:
188 9 Martingale Definition 9.22. I
Seite 199 und 200:
190 9 Martingale Beispiel 9.31. Wir
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192 9 Martingale Übung 9.2.4 (Ungl
Seite 203 und 204:
194 9 Martingale vorhersagbar und l
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196 9 Martingale Wir wollen nun X a
Seite 207 und 208:
10 Optional Sampling Sätze Wir hab
Seite 209 und 210:
10.1 Doob-Zerlegung und quadratisch
Seite 211 und 212:
10.2 Optional Sampling und Optional
Seite 213 und 214:
10.2 Optional Sampling und Optional
Seite 215 und 216:
Seite 217 und 218:
11 Martingalkonvergenzsätze und An
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E � (|X| ∗ n ∧ K) p� ≤ 11
Seite 221 und 222:
und C = � a,b∈Q a
Seite 223 und 224:
11.2 Martingalkonvergenzsätze 215
Seite 225 und 226:
11.2 Martingalkonvergenzsätze 217
Seite 227 und 228:
11.3 Beispiel: Verzweigungsprozess
Seite 229 und 230:
12 Rückwärtsmartingale und Austau
Seite 231 und 232:
12.1 Austauschbare Familien von Zuf
Seite 233 und 234:
12.1 Austauschbare Familien von Zuf
Seite 235 und 236:
1 n n� i=1 Xi In der Tat: Setzen
Seite 237 und 238:
12.3 Satz von de Finetti 229 Defini
Seite 239 und 240:
12.3 Satz von de Finetti 231 das he
Seite 241 und 242:
13 Konvergenz von Maßen In der Wah
Seite 243 und 244:
13.1 Wiederholung Topologie 235 Def
Seite 245 und 246:
13.1 Wiederholung Topologie 237 Da
Seite 247 und 248:
13.1 Wiederholung Topologie 239 Üb
Seite 249 und 250:
13.2 Schwache und vage Konvergenz 2
Seite 251 und 252:
Seite 253 und 254:
Seite 255 und 256:
Seite 257 und 258:
13.3 Der Satz von Prohorov 249 Satz
Seite 259 und 260:
13.3 Der Satz von Prohorov 251 besi
Seite 261 und 262:
13.3 Der Satz von Prohorov 253 �
Seite 263 und 264:
13.3 Der Satz von Prohorov 255 1. S
Seite 265 und 266:
13.4 Anwendung: Satz von de Finetti
Seite 267 und 268:
14 W-Maße auf Produkträumen Als M
Seite 269 und 270:
14.1 Produkträume 261 Definition 1
Seite 271 und 272:
14.2 Endliche Produkte und Übergan
Seite 273 und 274:
Seite 275 und 276:
Seite 277 und 278:
Seite 279 und 280: 14.2 Endliche Produkte und Übergan
Seite 281 und 282: 14.3 Satz von Ionescu-Tulcea und Pr
Seite 283 und 284: 14.3 Satz von Ionescu-Tulcea und Pr
Seite 285 und 286: 14.4 Markov’sche Halbgruppen 277
Seite 287 und 288: 14.4 Markov’sche Halbgruppen 279
Seite 289 und 290: 15 Charakteristische Funktion und Z
Seite 291 und 292: 15.1 Trennende Funktionenklassen 28
Seite 297 und 298: 15.2 Charakteristische Funktionen:
Seite 299 und 300: 15.2 Charakteristische Funktionen:
Seite 301 und 302: ϕμ(t) = 15.2 Charakteristische Fu
Seite 303 und 304: 15.3 Der Lévy’sche Stetigkeitssa
Seite 305 und 306: 15.3 Der Lévy’sche Stetigkeitssa
Seite 307 und 308: 15.4 Charakteristische Funktion und
Seite 309 und 310: � � � �ϕ(t + h) − � n
Seite 311 und 312: 15.4 Charakteristische Funktion und
Seite 313 und 314: 15.5 Der Zentrale Grenzwertsatz 305
Seite 317 und 318: Beweis. Für jedes n ∈ N ist νn
Seite 321 und 322: 15.6 Mehrdimensionaler Zentraler Gr
Seite 323 und 324: 316 16 Unbegrenzt teilbare Verteilu
Seite 329: 322 16 Unbegrenzt teilbare Verteilu
Seite 339 und 340: 17 Markovketten Markovprozesse mit
Seite 341 und 342: 17.1 Begriffsbildung und Konstrukti
Seite 343 und 344: Ex 17.1 Begriffsbildung und Konstru
Seite 345 und 346: 17.1 Begriffsbildung und Konstrukti
Seite 347 und 348: 17.2 Diskrete Markovketten, Beispie
Seite 349 und 350: 17.2 Diskrete Markovketten, Beispie
Seite 351 und 352: 17.3 Diskrete Markovprozesse in ste
Seite 353 und 354: Schreiben wir 17.3 Diskrete Markovp
Seite 355 und 356: 17.4 Diskrete Markovketten, Rekurre
Seite 357 und 358: 1 17.4 Diskrete Markovketten, Rekur
Seite 359 und 360: 17.5 Anwendung: Rekurrenz und Trans
Seite 367 und 368: 17.6 Invariante Verteilungen 361 Sa
Seite 369 und 370: 17.6 Invariante Verteilungen 363 Sa
Seite 371 und 372: 18 Konvergenz von Markovketten Wir
Seite 373 und 374: 3 1/2 1/2 2 1 1 18.1 Periodizität
Seite 375 und 376: 18.2 Kopplung und Konvergenzsatz 36
Seite 381 und 382:
18.2 Kopplung und Konvergenzsatz 37
Seite 383 und 384:
18.3 Markovketten Monte Carlo Metho
Seite 385 und 386:
1 0.8 0.6 0.4 0.2 Magnetisierung 18
Seite 387 und 388:
18.3 Markovketten Monte Carlo Metho
Seite 389 und 390:
18.4 Konvergenzgeschwindigkeit 383
Seite 391 und 392:
18.4 Konvergenzgeschwindigkeit 385
Seite 393 und 394:
Dabei ist die Varianz des einzelnen
Seite 395 und 396:
19 Markovketten und elektrische Net
Seite 397 und 398:
19.1 Harmonische Funktionen 391 Die
Seite 399 und 400:
19.3 Elektrische Netzwerke 393 Defi
Seite 401 und 402:
19.3 Elektrische Netzwerke 395 und
Seite 403 und 404:
x =0 0 u(0)=0 R R R R R R 1 2 3 4 5
Seite 405 und 406:
19.4 Rekurrenz und Transienz 19.4 R
Seite 407 und 408:
19.4 Rekurrenz und Transienz 401 Be
Seite 409 und 410:
19.4 Rekurrenz und Transienz 403 -
Seite 411 und 412:
Also ist R ′ eff(0 ↔∞)= 1 3
Seite 413 und 414:
Schritt 1. Die Schleife am rechten
Seite 415 und 416:
Alternative Lösung 19.5 Netzwerkre
Seite 417 und 418:
Übung 19.5.3. Man betrachte den Gr
Seite 419 und 420:
19.6 Irrfahrt in zufälliger Umgebu
Seite 421 und 422:
20 Ergodentheorie Gesetze der groß
Seite 423 und 424:
20.1 Begriffsbildung 417 Beispiel 2
Seite 425 und 426:
20.2 Ergodensätze 419 Daher ist X0
Seite 427 und 428:
Beweis. Setze Yn := � � � n
Seite 429 und 430:
20.4 Anwendung: Rekurrenz von Irrfa
Seite 431 und 432:
20.4 Anwendung: Rekurrenz von Irrfa
Seite 433 und 434:
1 lim n→∞ n 20.5 Mischung 427 n
Seite 435 und 436:
21 Die Brown’sche Bewegung In Bei
Seite 437 und 438:
21.1 Stetige Modifikationen 431 Fü
Seite 439 und 440:
21.1 Stetige Modifikationen 433 s
Seite 441 und 442:
21.1 Stetige Modifikationen 435 Üb
Seite 443 und 444:
21.2 Konstruktion und Pfadeigenscha
Seite 445 und 446:
21.2 Konstruktion und Pfadeigenscha
Seite 447 und 448:
21.3 Starke Markoveigenschaft 441
Seite 449 und 450:
21.3 Starke Markoveigenschaft 443 B
Seite 451 und 452:
21.4 Ergänzung: Feller Prozesse 44
Seite 453 und 454:
21.5 Konstruktion durch L 2 -Approx
Seite 455 und 456:
X n := 21.5 Konstruktion durch L 2
Seite 457 und 458:
21.6 Der Raum C([0, ∞)) 451 Übun
Seite 459 und 460:
21.7 Konvergenz von W-Maßen auf C(
Seite 461 und 462:
21.7 Konvergenz von W-Maßen auf C(
Seite 463 und 464:
21.8 Satz von Donsker 457 Satz 21.4
Seite 465 und 466:
E � ( ¯ T Kn,n t+s − ¯ T Kn,n
Seite 467 und 468:
und induktiv 21.9 Pfadweise Konverg
Seite 469 und 470:
21.9 Pfadweise Konvergenz von Verzw
Seite 471 und 472:
21.10 Quadratische Variation und lo
Seite 473 und 474:
Seite 475 und 476:
Seite 477 und 478:
Seite 479 und 480:
Seite 481 und 482:
Seite 483 und 484:
22 Gesetz vom iterierten Logarithmu
Seite 485 und 486:
22.1 Iterierter Logarithmus für di
Seite 487 und 488:
22.2 Skorohod’scher Einbettungssa
Seite 489 und 490:
Für n ∈ N und σ ∈{−, +} n s
Seite 491 und 492:
22.2 Skorohod’scher Einbettungssa
Seite 493 und 494:
M ′ n := sup |Bs − Btn−1 s∈
Seite 495 und 496:
490 23 Große Abweichungen 23.1 Sat
Seite 497 und 498:
492 23 Große Abweichungen Beweis.
Seite 499 und 500:
494 23 Große Abweichungen Λ ∗ (
Seite 501 und 502:
496 23 Große Abweichungen Beweis.
Seite 503 und 504:
498 23 Große Abweichungen Übung 2
Seite 505 und 506:
500 23 Große Abweichungen Seien nu
Seite 507 und 508:
502 23 Große Abweichungen Analog i
Seite 509 und 510:
504 23 Große Abweichungen Untere S
Seite 511 und 512:
506 23 Große Abweichungen 0.01 0.0
Seite 513 und 514:
508 23 Große Abweichungen Im Fall
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510 24 Der Poisson’sche Punktproz
Seite 517 und 518:
Seite 519 und 520:
Seite 521 und 522:
Seite 523 und 524:
Seite 525 und 526:
Seite 527 und 528:
Seite 529 und 530:
Seite 531 und 532:
25 Das Itô-Integral Das Itô-Integ
Seite 533 und 534:
25.1 Das Itô-Integral bezüglich d
Seite 535 und 536:
Seite 537 und 538:
Seite 539 und 540:
25.2 Itô-Integral bezüglich Diffu
Seite 541 und 542:
25.2 Itô-Integral bezüglich Diffu
Seite 543 und 544:
25.3 Die Itô-Formel 539 F (x) =x 2
Seite 545 und 546:
25.3 Die Itô-Formel 541 Da ε>0 be
Seite 547 und 548:
ft := lim n→∞ n� � 〈M〉t
Seite 549 und 550:
25.3 Die Itô-Formel 545 Korollar 2
Seite 551 und 552:
25.4 Dirichlet-Problem und Brown’
Seite 553 und 554:
25.5 Rekurrenz und Transienz der Br
Seite 555 und 556:
26 Stochastische Differentialgleich
Seite 557 und 558:
26.1 Starke Lösungen 553 Die Exist
Seite 559 und 560:
Die linke Seite in (26.6) ist aber
Seite 561 und 562:
und � t Jt := 0 � N b(s, Xs )
Seite 563 und 564:
1.5 1 0.5 0 26.1 Starke Lösungen 5
Seite 565 und 566:
26.2 Schwache Lösungen und Marting
Seite 567 und 568:
26.2 Schwache Lösungen und Marting
Seite 569 und 570:
Im Folgenden gelte stets: 26.2 Schw
Seite 571 und 572:
26.3 Eindeutigkeit schwacher Lösun
Seite 573 und 574:
Seite 575 und 576:
3 2 1 0 26.3 Eindeutigkeit schwache
Seite 577 und 578:
Seite 579 und 580:
Literatur 1. M. Aizenman, H. Kesten
Seite 581 und 582:
Literatur 577 37. R. M. Dudley. Rea
Seite 583 und 584:
Literatur 579 80. Jürgen Jost. Par
Seite 585 und 586:
Literatur 581 123. Jim Pitman und M
Seite 587 und 588:
Notation A Indikatorfunktion der Me
Seite 589 und 590:
μ ⊥ ν μist singulär bezüglic
Seite 591 und 592:
Glossar englischer Ausdrücke a.a.
Seite 593 und 594:
Namensregister Banach, Stefan, 1892
Seite 595 und 596:
Prohorov, Yurij Vasil’evich (Proh
Seite 597 und 598:
594 Sachregister Cesàro-Limes 62 C
Seite 599 und 600:
596 Sachregister -Itô-Formel - - m
Seite 601 und 602:
598 Sachregister Moran-Modell 343 d
Seite 603 und 604:
600 Sachregister - terminale 61, 22
Seite 605:
602 Sachregister Wählermodell 216
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