Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

2 Unabhängigkeit
Die Maßtheorie aus dem vorigen Kapitel ist eine lineare Theorie, die keine Abhängigkeitsstrukturen
zwischen Ereignissen oder Zufallsvariablen kennt. Wir betreten
das Gebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie genau an dieser Stelle mit der Definition
der Unabhängigkeit von Ereignissen und schließlich von Zufallsvariablen. Die
Unabhängigkeit ist ein zentraler Begriff der Wahrscheinlichkeitstheorie, die Quantifizierung
von Abhängigkeiten eines ihrer wichtigen Anliegen.
Fortan ist stets (Ω,A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, und die Mengen A ∈A
sind die Ereignisse. Sobald wir die Phase hinter uns gelassen haben, in der wir W-
Räume explizit konstruieren, wird der konkrete W-Raum in den Hintergrund treten,
und die beobachtbaren Größen, also Zufallsvariablen, werden an Bedeutung gewinnen.
Das fett gedruckte P steht dann für das universelle Objekt des W-Maßes, und
Wahrscheinlichkeiten P[ · ] bezüglich P werden stets mit eckigen Klammern geschrieben.
2.1 Unabhängigkeit von Ereignissen
Wir wollen zwei Ereignisse A und B als (stochastisch) unabhängig betrachten, wenn
das Eintreten von A nicht die Wahrscheinlichkeit beeinflusst, dass zudem B eintritt.
Etwas formaler können wir diesen intuitiven Begriff fassen, indem wir A und B als
unabhängig betrachten, wenn
P[A ∩ B] =P[A] · P[B]. (2.1)
Beispiel 2.1 (Zweifacher Würfelwurf). Wir betrachten das Zufallsexperiment des
zweifachen Würfelwurfes. Es ist also Ω = {1,...,6} 2 mit der σ-Algebra A =2Ω und der Gleichverteilung P = UΩ (siehe Beispiel 1.30(ii)).
(i) Zwei Ereignisse A und B sollten unabhängig sein, wenn A nur vom Ergebnis
des ersten Wurfes abhängt, B hingegen nur vom Ergebnis des zweiten Wurfes.
Formal beschreiben wir diese Situation, indem wir annehmen, dass es Mengen
Ã, ˜ B ⊂{1,...,6} gibt mit
A = Ã ×{1,...,6} und B = {1,...,6}× ˜ B.