Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

172 8 Bedingte Erwartungen
Korollar 8.16 (Bedingte Erwartung als Projektion). Sei F⊂Aeine σ-Algebra
und X eine Zufallsvariable mit E[X2 ] < ∞. Dann ist E[X |F] die orthogonale
Projektion von X auf L2 (Ω,F, P). Es gilt also für jedes F-messbare Y mit
E[Y 2 ] < ∞
E � (X − Y ) 2� ≥ E � (X − E[X |F]) 2�
mit Gleichheit genau dann, wenn Y = E[X |F].
Beweis. Sei Y messbar bezüglich F. Dann ist (mit der Turmeigenschaft) E[XY ]=
E[E[X |F]Y ] und E � XE[X |F] � = E � E[XE[X |F] � �F] � = E � E[X |F] 2� , also
E � (X − Y ) 2� ��X �� �
2
− E − E[X |F
�
= E X 2 − 2XY + Y 2 − X 2 +2XE[X |F] − E[X |F] 2�
�
= E Y 2 − 2Y E[X |F]+E[X |F] 2�
��Y � �
2
= E − E[X |F] ≥ 0. ✷
Beispiel 8.17. Seien X, Y ∈L 1 (P) unabhängig. Dann ist
E[X + Y |Y ]=E[X |Y ]+E[Y |Y ]=E[X]+Y. ✸
Beispiel 8.18. Seien X1,...,XN unabhängig mit E[Xi] =0, i =1,...,N. Setze
Fn := σ(X1,...,Xn) und Sn := X1 + ...+ Xn für n =1,...,N.Dannistfür
n ≥ m
�
�
�
E[Sn
�Fm] =E[X1
�Fm]+...+ E[Xn
�Fm] = X1 + ...+ Xm + E[Xm+1]+...+ E[Xn]
= Sm
Nach Satz 8.14(iv) ist wegen σ(Sm) ⊂Fm auch
E[Sn |Sm] = E � E[Sn |Fm] � �
�Sm = E[Sm |Sm] = Sm. ✸
Wir kommen nun zur Jensen’schen Ungleichung für bedingte Erwartungen.
Satz 8.19 (Jensen’sche Ungleichung). Sei I ⊂ R ein Intervall, und sei ϕ : I →
R konvex und X eine Zufallsvariable auf (Ω,A, P) mit Werten in I. Ferner sei
E[|X|] < ∞ und F⊂Aeine σ-Algebra. Dann gilt
∞ ≥ E[ϕ(X)|F] ≥ ϕ(E[X |F]).
Beweis. (Man erinnere sich der Definition 1.68 zur Sprechweise ” fast sicher auf
A“.) Auf dem Ereignis {E[X |F] ist ein Randpunkt von I} ist X = E[X |F] fast